Ley de Senos – Ejercicios Resueltos

ley de senos

El descubrimiento de la ley de senos dio gran paso a grandes descubrimientos de la geometría plana, y con ello la solución a muchos problemas que implicaban el cálculo de longitudes y ángulos, es por ello que el día de hoy hablaremos exclusivamente sobre la ley de senos, y de como aplicarlo a un caso especial para la primera condición de equilibrio. 😎

Una de las cosas que debemos saber acerca de la ley de senos, es que solo es aplicable a triángulos oblicuángulos, es decir aquellos triángulos los cuales no tienen ningún ángulo recto o de 90°.

También debemos considerar dos puntos importantes, para poder utilizar dicha ley, y consiste en aplicarla solo cuando nos encontramos bajo los siguientes dos casos:

  • Cuando los datos conocidos son dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
  • Cuando se tenga dos ángulos y cualquier lado.

Fórmula para la Ley de Senos

La fórmula para resolver ejercicios de triángulos mediante la ley de senos, es la siguiente:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

ley de senos 1

Ejemplos resueltos de la Ley de Senos

1.- En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

ley de senos ejercicio

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Solución: Si observamos, podemos ver que nuestro triángulo tiene dos ángulos y un solo lado, por lo cual podemos aplicar la ley de senos, sin embargo, podemos realizar un análisis sencillo para hallar el otro ángulo desconocido, tomando en cuenta que; la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo deben sumar 180°.

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.

\displaystyle \angle A+42{}^\circ +76{}^\circ =180{}^\circ

\displaystyle \angle A+118{}^\circ =180{}^\circ

\displaystyle \angle A=180{}^\circ -118{}^\circ =62{}^\circ

Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.

\displaystyle \angle A=62{}^\circ

Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, y ya tenemos a nuestra disposición cuanto equivalen los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedo tomar la igualdad que yo desee.

Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos:

\displaystyle \frac{a}{sen62{}^\circ }=\frac{b}{sen42{}^\circ }

Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.

\displaystyle a=\frac{b\cdot sen62{}^\circ }{sen42{}^\circ }=19.79cm

Listo…! hemos encontrado el valor del lado a.

Ahora encontremos el lado restante.

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}

\displaystyle \frac{19.79cm}{sen62{}^\circ }=\frac{c}{sen76{}^\circ }

despejando a “c”

\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }

realizando la operación:

\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }=21.75cm

por lo que el lado restante “c” mide 21.75 cm.

Problema resuelto.

2.- En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

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En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente. 🙁

Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.

\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}=\frac{n}{senN}

podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad:

\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}

despejando a Sen M

\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:

\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}=\frac{(8cm)sen(76{}^\circ )}{12cm}=0.6469

sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos:

\displaystyle se{{n}^{-1}}M=0.6469

\displaystyle M=40{}^\circ .18

Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, encontremos el ángulo faltante.

\displaystyle 180{}^\circ =\angle M+\angle N+\angle P

\displaystyle 180{}^\circ =40.18{}^\circ +76{}^\circ +\angle P

\displaystyle \angle N=180{}^\circ -40.18{}^\circ -76{}^\circ

\displaystyle \angle N=63.42{}^\circ

Por lo que el ángulo restante, es de 63.42°

El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos.

\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{n}{senN}

Despejando a ” n”.

\displaystyle n=\frac{p\cdot senN}{senP}

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula:

\displaystyle n=\frac{(12cm)\cdot sen(63.42{}^\circ )}{sen(76{}^\circ )}=11.09cm

Por lo que el valor de n = 11.09 cm.

y con eso se da por resuelto el problema.

Ahora es momento de practicar, resuelve los siguientes ejemplos 🙂

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21 Comentarios
  1. Isabel
    Febrero 21, 2016 | Responder
    • Febrero 22, 2016 | Responder
    • Nallely
      Mayo 29, 2016 | Responder
  2. Marzo 11, 2016 | Responder
    • jeison p
      Mayo 18, 2016 | Responder
  3. Marzo 12, 2016 | Responder
  4. Naomi
    Mayo 10, 2016 | Responder
  5. emmanuel
    Mayo 20, 2016 | Responder
  6. Julio 18, 2016 | Responder
    • Julio 19, 2016 | Responder
    • Angelly Andrea
      Febrero 17, 2017 | Responder
  7. ELEAZAR
    Septiembre 2, 2016 | Responder
    • ELEAZAR
      Septiembre 2, 2016 | Responder
    • santiago marzo
      Octubre 2, 2016 | Responder
  8. Santiago
    Septiembre 6, 2016 | Responder
  9. adrian
    Noviembre 30, 2016 | Responder
  10. adrian briceño
    Noviembre 30, 2016 | Responder
  11. Carlos Tello
    Febrero 23, 2017 | Responder
  12. Alejandro
    Marzo 20, 2017 | Responder
  13. carlos
    Julio 3, 2017 | Responder

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