Factorización de Polinomios: Guía Completa con Ejercicios
De todos los temas cubiertos en este capítulo, la factorización de polinomios es probablemente el más importante. Hay muchas secciones en capítulos posteriores donde el primer paso será factorizar un polinomio. Por lo tanto, si no puedes factorizar, no podrás ni siquiera comenzar el problema, y mucho menos terminarlo. 😥
Comencemos por hablar un poco sobre qué es la factorización. Factorizar es el proceso mediante el cual determinamos qué se multiplicó para obtener una cantidad dada. Hacemos esto todo el tiempo con los números. Por ejemplo, aquí hay varias formas de factorizar el número 12.
\[\begin{align*}12 & = \left( 2 \right)\left( 6 \right) & \hspace{0.5in} 12 & = \left( 3 \right)\left( 4 \right) & \hspace{0.25in} 12 & = \left( 2 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\hspace{0.25in}\\ 12 & = \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {24} \right) & \hspace{0.5in}12 & = \left( { - 2} \right)\left( { - 6} \right)& \hspace{0.5in}12& = \left( { - 2} \right)\left( 2 \right)\left( { - 3} \right)\end{align*}\]
Un método común para factorizar números es la factorización completa en factores primos positivos. Un número primo es un número cuyos únicos factores positivos son 1 y él mismo. Por ejemplo, 2, 3, 5 y 7 son números primos. Si factorizamos completamente un número en sus factores primos positivos, solo habrá una única forma de hacerlo. Para nuestro ejemplo, la factorización completa de 12 es:
\[12 = \left( 2 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\]
La factorización de polinomios se realiza de manera muy similar. Determinamos todos los términos que se multiplicaron para obtener el polinomio dado. Cuando ya no podemos seguir factorizando, decimos que el polinomio está completamente factorizado.
Por ejemplo, el polinomio \({x^2} - 16 = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\) está completamente factorizado.
Sin embargo, \({x^4} - 16 = \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\) no lo está, porque el segundo factor aún se puede factorizar. La factorización completa es:
\[{x^4} - 16 = \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\]
El propósito de esta sección es familiarizarnos con las técnicas más comunes para factorizar polinomios.
Factor Común (Máximo Común Divisor)
El primer método que siempre debemos intentar es sacar el máximo común divisor (MCD) o factor común. Este método a menudo simplifica el problema considerablemente. Consiste en observar todos los términos del polinomio y determinar si hay un factor común en todos ellos. Si lo hay, lo "sacamos" del polinomio aplicando la ley distributiva en reversa.
Recordemos la ley distributiva: \(a\left( {b + c} \right) = ab + ac\).
Al factorizar, hacemos el proceso inverso: \(ab + ac = a\left( {b + c} \right)\).
Ejemplo 1: Sacar el factor común de \(8{x^4} - 4{x^3} + 10{x^2}\).
Solución:
Primero, observamos que podemos factorizar un 2 de cada coeficiente (8, -4, 10). También, podemos factorizar \(x^2\) de cada término, ya que es la menor potencia de \(x\) presente. El factor común es \(2x^2\).
\[8{x^4} - 4{x^3} + 10{x^2} = 2{x^2}\left( {4{x^2} - 2x + 5} \right)\]
Siempre podemos verificar nuestra factorización multiplicando los términos para ver si obtenemos el polinomio original.
Ejemplo 2: Sacar el factor común de \(3{x^6} - 9{x^2} + 3x\).
Solución:
En este caso, podemos factorizar un \(3x\) de cada término.
\[3{x^6} - 9{x^2} + 3x = 3x\left( {{x^5} - 3x + 1} \right)\]
¡Cuidado! Un error común es olvidar el "+1". Cuando un término se factoriza por completo (como el \(3x\) original), debemos dejar un 1 en su lugar para indicar que ese término existía. Si lo omitimos, al multiplicar de vuelta no obtendremos el polinomio original.
Factorización por Agrupación
Este método es útil para polinomios con cuatro términos. La idea es agrupar los términos en pares, sacar un factor común de cada par y luego factorizar un binomio común.
Ejemplo 3: Factorizar \({x^5} + x - 2{x^4} - 2\) por agrupación.
Solución:
Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos. Como los dos últimos son negativos, sacamos un signo negativo al agruparlos.
\[\left( {{x^5} + x} \right) - \left( {2{x^4} + 2} \right)\]
Ahora, sacamos el factor común de cada grupo: \(x\) del primero y 2 del segundo.
\[x\left( {{x^4} + 1} \right) - 2\left( {{x^4} + 1} \right)\]
Vemos que \((x^4 + 1)\) es un factor común. Lo sacamos para obtener la forma final.
\[\left( {{x^4} + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\]
Factorización de Polinomios Cuadráticos (Trinomios)
Un polinomio cuadrático (de segundo grado) de la forma \(ax^2+bx+c\) a menudo se puede factorizar en el producto de dos binomios lineales.
Ejemplo 4: Factorizar \({x^2} - 10x + 24\).
Solución:
Como el coeficiente de \(x^2\) es 1, buscamos dos números que multiplicados den +24 y sumados den -10. Los factores de 24 son (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6) y sus negativos. La pareja que funciona es -4 y -6, ya que \((-4) \times (-6) = 24\) y \((-4) + (-6) = -10\).
\[{x^2} - 10x + 24 = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 6} \right)\]
Ejemplo 5: Factorizar \(5{x^2} - 17x + 6\).
Solución:
Aquí, el coeficiente principal no es 1, por lo que el proceso es por tanteo. El primer término de los binomios debe multiplicar a \(5x^2\), por lo que las únicas opciones son \((5x \quad)(x \quad)\). Los segundos términos deben multiplicar a +6. Como el término del medio (-17x) es negativo, ambos deben ser negativos. Probamos con los factores de 6 (-1,-6), (-2,-3).
Después de probar, encontramos que la combinación correcta es:
\[\left( {5x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 5x^2 -15x -2x + 6 = 5{x^2} - 17x + 6\]
Fórmulas de Factorización Notables (Productos Notables)
Recordar estas fórmulas puede ahorrar mucho tiempo.
\[\begin{align*}{a^2} - {b^2} & = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) \quad \text{(Diferencia de Cuadrados)}\\ {a^2} + 2ab + {b^2} & = {\left( {a + b} \right)^2} \quad \text{(Trinomio Cuadrado Perfecto)}\\ {a^2} - 2ab + {b^2} & = {\left( {a - b} \right)^2} \quad \text{(Trinomio Cuadrado Perfecto)}\\ {a^3} - {b^3} & = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \quad \text{(Diferencia de Cubos)}\\ {a^3} + {b^3} & = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \quad \text{(Suma de Cubos)}\end{align*}\]
Ejemplo 6: Factorizar \(25{x^2} - 9\).
Solución:
Notamos que esto es una diferencia de cuadrados perfectos: \(25x^2 = (5x)^2\) y \(9 = 3^2\).
\[25{x^2} - 9 = {\left( {5x} \right)^2} - {\left( 3 \right)^2}\]
Usando la fórmula \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), obtenemos:
\[\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)\]
Ejemplo 7: Factorizar \(8{x^3} + 1\).
Solución:
Esto es una suma de cubos perfectos: \(8x^3 = (2x)^3\) y \(1 = 1^3\).
\[8{x^3} + 1 = {\left( {2x} \right)^3} + {\left( 1 \right)^3}\]
Usando la fórmula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\), obtenemos:
\[\left( {2x + 1} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - \left( {2x} \right)\left( 1 \right) + {1^2}} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 2x + 1} \right)\]
Ejercicios Resueltos de Factorización
Ejercicio 1: \(6{x^7} + 3{x^4} - 9{x^3}\)
Solución:
El máximo común divisor de los coeficientes (6, 3, -9) es 3. La menor potencia de la variable \(x\) es \(x^3\). Por lo tanto, el factor común es \(3x^3\).
\[3{x^3}\left( {2{x^4} + x - 3} \right)\]
Ejercicio 2: \({a^3}{b^8} - 7{a^{10}}{b^4} + 2{a^5}{b^2}\)
Solución:
Para la variable \(a\), la menor potencia es \(a^3\). Para la variable \(b\), la menor potencia es \(b^2\). El factor común es \(a^3b^2\).
\[{a^3}{b^2}\left( {{b^6} - 7{a^7}{b^2} + 2{a^2}} \right)\]
Ejercicio 3: \(2x{\left( {{x^2} + 1} \right)^3} - 16{\left( {{x^2} + 1} \right)^5}\)
Solución:
El factor común numérico es 2. El factor común binomial es \( (x^2+1) \) elevado a la menor potencia, que es 3. El MCD es \(2(x^2+1)^3\).
\[2{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\left[ {x - 8{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right]\]
Expandiendo el término dentro del corchete para simplificar:
\[2{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\left[ {x - 8\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)} \right] = 2{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\left( { - 8{x^4} - 16{x^2} + x - 8} \right)\]
Ejercicio 4: \({x^2}\left( {2 - 6x} \right) + 4x\left( {4 - 12x} \right)\)
Solución:
Primero, notamos que podemos sacar un factor común en el segundo paréntesis: \(4 - 12x = 2(2 - 6x)\).
\[{x^2}\left( {2 - 6x} \right) + 4x\left[ {2\left( {2 - 6x} \right)} \right] = {x^2}\left( {2 - 6x} \right) + 8x\left( {2 - 6x} \right)\]
Ahora, el binomio \((2 - 6x)\) es un factor común.
\[\left( {{x^2} + 8x} \right)\left( {2 - 6x} \right)\]
Finalmente, podemos sacar un factor común de cada uno de estos binomios: \(x\) del primero y 2 del segundo.
\[x\left( {x + 8} \right) \cdot 2\left( {1 - 3x} \right) = 2x\left( {x + 8} \right)\left( {1 - 3x} \right)\]
Factorización por Agrupación
Ejercicio 5: \(7x + 7{x^3} + {x^4} + {x^6}\)
Solución:
Agrupamos en pares: \( \left( {7x + 7{x^3}} \right) + \left( {{x^4} + {x^6}} \right) \).
Sacamos el factor común de cada grupo: \( 7x\left( {1 + {x^2}} \right) + {x^4}\left( {1 + {x^2}} \right) \).
Sacamos el factor común binomial \((1+x^2)\): \( \left( {7x + {x^4}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right) \).
Factorizamos el primer término para la forma final: \( x\left( {7 + {x^3}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right) \).
Ejercicio 6: \(18x + 33 - 6{x^4} - 11{x^3}\)
Solución:
Agrupamos en pares: \( \left( {18x + 33} \right) - \left( {6{x^4} + 11{x^3}} \right) \).
Sacamos el factor común de cada grupo: \( 3\left( {6x + 11} \right) - {x^3}\left( {6x + 11} \right) \).
Sacamos el factor común binomial \((6x+11)\): \( \left( {3 - {x^3}} \right)\left( {6x + 11} \right) \).
Factorización General de Polinomios
Ejercicio 7: \({x^2} - 2x - 8\)
Solución:
Buscamos dos números que multiplicados den -8 y sumados den -2. Esos números son -4 y +2.
\[\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\]
Ejercicio 8: \({z^2} - 10z + 21\)
Solución:
Buscamos dos números que multiplicados den +21 y sumados den -10. Esos números son -7 y -3.
\[\left( {z - 7} \right)\left( {z - 3} \right)\]
Ejercicio 9: \({y^2} + 16y + 60\)
Solución:
Buscamos dos números que multiplicados den +60 y sumados den +16. Esos números son +10 y +6.
\[\left( {y + 10} \right)\left( {y + 6} \right)\]
Ejercicio 10: \(5{x^2} + 14x - 3\)
Solución:
Por tanteo. Los binomios deben ser de la forma \((5x \quad)(x \quad)\). Los factores de -3 son (1, -3) y (-1, 3). La combinación correcta es:
\[\left( {5x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\]
Ejercicio 11: \(6{t^2} - 19t - 7\)
Solución:
Por tanteo. La combinación correcta es:
\[\left( {3t + 1} \right)\left( {2t - 7} \right)\]
Ejercicio 12: \(4{z^2} + 19z + 12\)
Solución:
Por tanteo. La combinación correcta es:
\[\left( {4z + 3} \right)\left( {z + 4} \right)\]
Ejercicio 13: \({x^2} + 14x + 49\)
Solución:
Es un trinomio cuadrado perfecto: \((x)^2 + 2(x)(7) + (7)^2\).
\[{\left( {x + 7} \right)^2}\]
Ejercicio 14: \(4{w^2} - 25\)
Solución:
Es una diferencia de cuadrados: \((2w)^2 - (5)^2\).
\[\left( {2w - 5} \right)\left( {2w + 5} \right)\]
Ejercicio 15: \(81{x^2} - 36x + 4\)
Solución:
Es un trinomio cuadrado perfecto: \((9x)^2 - 2(9x)(2) + (2)^2\).
\[{\left( {9x - 2} \right)^2}\]
Factorización de Polinomios de Grado Superior
Ejercicio 16: \({x^6} + 3{x^3} - 4\)
Solución:
Usamos un cambio de variable, \(u = x^3\). La expresión se convierte en \(u^2 + 3u - 4\), que se factoriza como \((u+4)(u-1)\).
Sustituyendo de vuelta: \((x^3+4)(x^3-1)\).
El segundo término es una diferencia de cubos que se puede factorizar más:
\[\left( {{x^3} + 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]
Ejercicio 17: \(3{z^5} - 17{z^4} - 28{z^3}\)
Solución:
Primero, sacamos el factor común \(z^3\): \(z^3(3z^2 - 17z - 28)\).
Luego, factorizamos el trinomio cuadrático por tanteo:
\[{z^3}\left( {3z + 4} \right)\left( {z - 7} \right)\]
Ejercicio 18: \(2{x^{14}} - 512{x^6}\)
Solución:
Sacamos el factor común \(2x^6\): \(2x^6(x^8 - 256)\).
El término \((x^8 - 256)\) es una diferencia de cuadrados repetida:
\[ = 2{x^6}\left( {{x^4} - 16} \right)\left( {{x^4} + 16} \right)\]\[ = 2{x^6}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^4} + 16} \right)\]\[ = 2{x^6}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^4} + 16} \right)\]
Descargar PDF de Ejercicios de Factorización
Conclusión
La factorización es una habilidad crucial en álgebra que transforma un polinomio de una suma de términos a un producto de factores más simples. Dominar las técnicas del factor común, la agrupación, la factorización de trinomios y el uso de productos notables es esencial para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y tener éxito en temas matemáticos más avanzados. Recuerda siempre comenzar buscando un factor común y verificar si tus factores finales ya no se pueden descomponer más.
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