Derivadas Parciales: Primer y Segundo Orden con Ejercicios Resueltos Paso a Paso

¡Qué tal amigos! El día de hoy daremos el salto fundamental del cálculo diferencial tradicional en una dimensión al fascinante universo del cálculo multivariable: las derivadas parciales. En el mundo real, los fenómenos físicos rara vez dependen de una sola variable. La presión atmosférica cambia con la altitud y la temperatura, la ganancia de una empresa depende del precio de venta y de los costos de producción, y la deformación de un puente depende de la carga, la elasticidad del acero y el viento. Para cuantificar cómo cambia una función de varias variables respecto a una de ellas mientras mantenemos a las demás rigurosamente congeladas como constantes, inventamos las derivadas parciales. En esta guía completa aprenderás la definición rigurosa por límites, su interpretación geométrica con secciones planas, el Teorema de Clairaut para derivadas cruzadas, planos tangentes y 9 ejercicios resueltos paso a paso con todo detalle algebraico.

¿Qué es una Derivada Parcial y cuál es su definición formal?

Si tenemos una función escalar de dos variables independientes \( z = f(x, y) \), no podemos calcular una derivada ordinaria directa porque la superficie puede variar a ritmos completamente distintos según la dirección en la que nos movamos sobre el plano \( xy \). La forma más natural de abordar este problema es restringir el movimiento a lo largo de las direcciones de los ejes coordenados canónicos cartesianos.

Interpretación Geométrica Tridimensional

La gráfica de la función \( z = f(x, y) \) representa una superficie en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \). Cuando fijamos \( y = y_0 \), geométricamente estamos intersectando la superficie con un plano vertical paralelo al plano coordenado \( xz \). La intersección entre este plano y la superficie genera una curva plana \( C_1 \). La derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \) es precisamente la pendiente de la recta tangente a dicha curva \( C_1 \) en el punto \( P_0(x_0, y_0, f(x_0, y_0)) \).

De forma completamente análoga, al fijar \( x = x_0 \), cortamos la superficie con un plano vertical paralelo al plano \( yz \), obteniendo una curva plana \( C_2 \). La derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \) es la pendiente de la recta tangente a la curva \( C_2 \) en dirección al eje \( y \).

Ecuación del Plano Tangente a una Superficie

Las dos rectas tangentes a las curvas \( C_1 \) y \( C_2 \) en el punto \( P_0(x_0, y_0, z_0) \) determinan de manera única un plano en el espacio denominado plano tangente. Si las derivadas parciales de primer orden son continuas, la ecuación cartesiana del plano tangente es:

El vector normal a este plano tangente viene dado por \( \vec{n} = \left( f_x(x_0, y_0), \, f_y(x_0, y_0), \, -1 \right) \).

Derivadas Parciales de Segundo Orden y Teorema de Clairaut

Como las derivadas parciales de primer orden \( f_x \) y \( f_y \) son a su vez funciones de \( x \) e \( y \), podemos volver a derivarlas sucesivamente, dando origen a cuatro posibles derivadas parciales de segundo orden:

• Segunda derivada pura respecto a x: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \)
• Segunda derivada pura respecto a y: \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \)
• Derivada mixta o cruzada (primero x, luego y): \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \)
• Derivada mixta o cruzada (primero y, luego x): \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \)

El célebre Teorema de Clairaut-Schwarz establece que si las funciones \( f_{xy} \) y \( f_{yx} \) son continuas en un disco abierto centrado en el punto \( (x_0, y_0) \), entonces el orden de derivación no altera el resultado final.

Regla de la Cadena Multivariable

Cuando una variable dependiente \( z = f(x, y) \) tiene a sus argumentos definidos en términos de parámetros intermedios (por ejemplo, coordenadas polares \( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \) o una curva paramétrica de tiempo \( x = x(t), y = y(t) \)), la derivada total se obtiene sumando los aportes ponderados de cada camino funcional:

9 Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Solución:

Datos:

• Función: \( f(x, y) = 4x^3 y^2 - 7x^2 y + 5x - 3y + 8 \)

Fórmula:

\[ \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = n x^{n-1} \quad (y = \text{cte}), \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^m) = m y^{m-1} \quad (x = \text{cte}) \]

Sustitución y Operaciones:

Para derivar respecto a \( x \), tratamos a \( y \) como una constante fija:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4(3x^2)y^2 - 7(2x)y + 5(1) - 0 + 0 = 12x^2 y^2 - 14xy + 5 \]

Para derivar respecto a \( y \), tratamos a \( x \) como una constante fija:

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4x^3(2y) - 7x^2(1) + 0 - 3(1) + 0 = 8x^3 y - 7x^2 - 3 \]

Resultado:

\[ f_x = 12x^2 y^2 - 14xy + 5, \quad f_y = 8x^3 y - 7x^2 - 3 \]

Interpretación Física: En cualquier punto de la superficie, \( f_x \) mide la tasa de variación al movernos paralelamente al eje \( x \), y \( f_y \) la tasa de cambio al desplazarnos paralelamente al eje \( y \).

Solución:

Datos:

• Función: \( f(x, y) = x^2 y^3 - 3xy^2 + 2x \)
• Punto de evaluación: \( (x_0, y_0) = (2, -1) \)

Fórmula:

\[ f_x(x, y) = 2x y^3 - 3y^2 + 2, \quad f_y(x, y) = 3x^2 y^2 - 6xy \]

Sustitución y Operaciones:

Evaluamos \( f_x(2, -1) \):

\[ f_x(2, -1) = 2(2)(-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = 4(-1) - 3(1) + 2 = -4 - 3 + 2 = -5 \]

Evaluamos \( f_y(2, -1) \):

\[ f_y(2, -1) = 3(2)^2(-1)^2 - 6(2)(-1) = 3(4)(1) - (-12) = 12 + 12 = 24 \]

Resultado:

\[ f_x(2, -1) = -5, \quad f_y(2, -1) = 24 \]

Interpretación Física: Si un móvil situado sobre la superficie en \( (2, -1) \) avanza un paso en dirección \( +x \), la altura desciende 5 unidades; si avanza en dirección \( +y \), la altura se dispara hacia arriba a razón de 24 unidades.

Solución:

Datos:

• Función: \( z = e^{u} \) donde \( u(x, y) = x^2 - 3y^2 \)

Fórmula:

\[ \frac{\partial}{\partial x}(e^u) = e^u \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(e^u) = e^u \frac{\partial u}{\partial y} \]

Sustitución y Operaciones:

Calculamos la derivada respecto a \( x \):

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \implies \frac{\partial z}{\partial x} = (2x) e^{x^2 - 3y^2} \]

Calculamos la derivada respecto a \( y \):

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -6y \implies \frac{\partial z}{\partial y} = (-6y) e^{x^2 - 3y^2} \]

Resultado:

\[ z_x = 2x e^{x^2 - 3y^2}, \quad z_y = -6y e^{x^2 - 3y^2} \]

Interpretación Física: El factor exponencial común modula la magnitud de las tasas de variación según la distancia cuadrática al origen.

Solución:

Datos:

• Función: \( f(x, y) = \cos(u) + \sin(v) \) donde \( u = 2x + 5y \) y \( v = xy \)

Fórmula:

\[ \frac{\partial}{\partial x}(\cos u) = -\sin u \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\sin v) = \cos v \frac{\partial v}{\partial x} \]

Sustitución y Operaciones:

Derivamos respecto a \( x \):

\[ f_x = -\sin(2x + 5y) \cdot 2 + \cos(xy) \cdot y = -2\sin(2x + 5y) + y\cos(xy) \]

Derivamos respecto a \( y \):

\[ f_y = -\sin(2x + 5y) \cdot 5 + \cos(xy) \cdot x = -5\sin(2x + 5y) + x\cos(xy) \]

Resultado:

\[ f_x = -2\sin(2x + 5y) + y\cos(xy), \quad f_y = -5\sin(2x + 5y) + x\cos(xy) \]

Interpretación Física: En el término acoplado \( \sin(xy) \), la variable contraria emerge como un coeficiente de amplitud modulador por la regla de la cadena.

Solución:

Datos:

• Función: \( z = \frac{u}{v} \) donde \( u = x - y \) y \( v = x + y \) con \( x + y \neq 0 \)

Fórmula:

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u_x v - u v_x}{v^2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u_y v - u v_y}{v^2} \]

Sustitución y Operaciones:

Para \( \partial z / \partial x \): \( u_x = 1 \), \( v_x = 1 \)

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(1)(x + y) - (x - y)(1)}{(x + y)^2} = \frac{x + y - x + y}{(x + y)^2} = \frac{2y}{(x + y)^2} \]

Para \( \partial z / \partial y \): \( u_y = -1 \), \( v_y = 1 \)

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(-1)(x + y) - (x - y)(1)}{(x + y)^2} = \frac{-x - y - x + y}{(x + y)^2} = \frac{-2x}{(x + y)^2} \]

Resultado:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2y}{(x + y)^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-2x}{(x + y)^2} \]

Interpretación Física: Esta función homogénea de grado cero muestra que en la recta bisectriz \( y = x \), \( z_x = 2x / (2x)^2 = 1/(2x) \) y \( z_y = -1/(2x) \), conservando simetría opuesta.

Solución:

Datos:

• Función polinomial suave \( C^{\infty} \): \( f(x, y) = x^4 y^3 - 5x^2 y^4 + 3x y \)

Fórmula:

\[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right), \quad f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

Sustitución y Operaciones:

Paso 1: Calculamos \( f_x \) y luego derivamos respecto a \( y \):

\[ f_x = 4x^3 y^3 - 10x y^4 + 3y \]

\[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 y^3 - 10x y^4 + 3y) = 4x^3(3y^2) - 10x(4y^3) + 3(1) = 12x^3 y^2 - 40x y^3 + 3 \]

Paso 2: Calculamos \( f_y \) y luego derivamos respecto a \( x \):

\[ f_y = 3x^4 y^2 - 20x^2 y^3 + 3x \]

\[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^4 y^2 - 20x^2 y^3 + 3x) = 3(4x^3)y^2 - 20(2x)y^3 + 3(1) = 12x^3 y^2 - 40x y^3 + 3 \]

Resultado:

\[ f_{xy} = f_{yx} = 12x^3 y^2 - 40x y^3 + 3 \quad \text{(Identidad comprobada)} \]

Interpretación Física: La igualdad confirma que la curvatura mixta de la superficie es simétrica e independiente del orden en que se aplican los diferenciales.

Solución:

Datos:

• Superficie: \( z = f(x, y) = 2x^2 + y^2 \)
• Punto dado: \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 6) \)
• Verificación de pertenencia: \( z_0 = 2(1)^2 + (2)^2 = 2 + 4 = 6 \) (correcto)

Fórmula:

\[ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]

Sustitución y Operaciones:

Calculamos las derivadas parciales:

\[ f_x(x, y) = 4x \implies f_x(1, 2) = 4(1) = 4 \]

\[ f_y(x, y) = 2y \implies f_y(1, 2) = 2(2) = 4 \]

Sustituimos en la ecuación del plano tangente:

\[ z - 6 = 4(x - 1) + 4(y - 2) \]

\[ z - 6 = 4x - 4 + 4y - 8 \]

\[ 4x + 4y - z - 6 = 0 \quad \text{o bien} \quad z = 4x + 4y - 6 \]

Resultado:

\[ 4x + 4y - z = 6 \]

Interpretación Física: El plano tangente proporciona la mejor aproximación lineal local a la superficie en las proximidades inmediatas del punto \( (1, 2, 6) \).

Solución:

Datos:

• \( z = x^2 y + 3xy^4 \)
• \( x(t) = \sin(2t) \implies x'(t) = 2\cos(2t) \)
• \( y(t) = \cos(t) \implies y'(t) = -\sin(t) \)
• Instante de evaluación: \( t = 0 \implies x(0) = \sin(0) = 0 \), \quad \( y(0) = \cos(0) = 1 \)

Fórmula:

\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]

Sustitución y Operaciones:

Calculamos las derivadas parciales en \( (x, y) = (0, 1) \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 3y^4 \implies \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0, 1)} = 2(0)(1) + 3(1)^4 = 3 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 12xy^3 \implies \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0, 1)} = (0)^2 + 12(0)(1)^3 = 0 \]

Calculamos las derivadas de las trayectorias en \( t = 0 \):

\[ x'(0) = 2\cos(0) = 2(1) = 2, \quad y'(0) = -\sin(0) = 0 \]

Aplicamos la regla de la cadena:

\[ \frac{dz}{dt}\Big|_{t=0} = (3)(2) + (0)(0) = 6 \]

Resultado:

\[ \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=0} = 6 \]

Interpretación Física: La tasa instantánea con la que varía la magnitud \( z \) cuando la partícula atraviesa el origen del parámetro es de exactamente 6 unidades por unidad de tiempo.

Solución:

Datos:

• Función potencial: \( u(x, y) = e^x \cos(y) \)

Fórmula:

\[ \nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \]

Sustitución y Operaciones:

Calculamos las derivadas respecto a \( x \):

\[ u_x = \frac{\partial}{\partial x}\left[e^x \cos(y)\right] = e^x \cos(y) \]

\[ u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left[e^x \cos(y)\right] = e^x \cos(y) \]

Calculamos las derivadas respecto a \( y \):

\[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}\left[e^x \cos(y)\right] = -e^x \sin(y) \]

\[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left[-e^x \sin(y)\right] = -e^x \cos(y) \]

Sumamos las segundas derivadas para evaluar el operador Laplaciano:

\[ \nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = e^x \cos(y) + \left( -e^x \cos(y) \right) = 0 \]

Resultado:

\[ \nabla^2 u = 0 \quad \text{(La función es rigurosamente armónica)} \]

Interpretación Física: Las funciones armónicas modelan estados estacionarios de distribución de temperatura, potenciales electrostáticos en regiones libres de carga y flujos de fluidos incompresibles e irrotacionales.

Problemas Prácticos de Autoevaluación

Preguntas Frecuentes sobre Derivadas Parciales

1. ¿Qué diferencia hay entre una derivada ordinaria (d/dx) y una derivada parcial (∂/∂x)?
La derivada ordinaria se aplica exclusivamente a funciones de una sola variable independiente \( y = f(x) \) donde no hay otras variables en juego. La derivada parcial se aplica a funciones de dos o más variables \( z = f(x, y) \) y exige congelar conscientemente a todas las demás variables tratándolas como números fijos durante el proceso de derivación.

2. ¿Siempre se cumple el Teorema de Clairaut (f_xy = f_yx)?
En la inmensa mayoría de las funciones usuales en ingeniería y ciencias (polinomios, exponenciales, senos, cosenos, logaritmos) sí se cumple, ya que son funciones continuamente diferenciables. Solo en funciones patológicas discontinuas en el origen diseñadas como contraejemplos matemáticos puede fallar la igualdad de derivadas cruzadas.

3. ¿Qué representa físicamente el vector gradiente respecto a las derivadas parciales?
El vector gradiente \( \nabla f = (f_x, f_y) \) agrupa a todas las derivadas parciales de primer orden en un solo vector geométrico. Su dirección apunta hacia el camino de máxima pendiente ascendente sobre la superficie, y su magnitud representa el valor numérico de esa tasa máxima de cambio.