Ecuación de Continuidad - Ejercicios Resueltos

Seguimos redactando artículos y ejercicios sobre los temas de hidráulica, en el área de Física, y en esta ocasión tenemos la oportunidad de redactar sobre la ecuación de continuidad y ver la gran importancia que tiene ésta ecuación, e incluso hacemos uso de ella sin tenerlo en cuenta. Pero bueno, vamos a comenzar detallando que la ecuación de continuidad de los fluidos está expresada matemáticamente de la siguiente manera:

Contenidos

1 🔹 Fórmula de la ecuación de continuidad
2 🔸 Ejercicios Resueltos de Continuidad
3 📃 Ejercicios para Practicar de Ecuación de Continuidad
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🔹 Fórmula de la ecuación de continuidad

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

De la fórmula podemos deducir que A es área y v es velocidad. Más adelante lo explicaremos mejor, por ahora veamos la siguiente imagen, para aclarar mejor nuestro panorama sobre éste tema.

Bien, si observas la imagen te darás cuenta que en nuestra ecuación de continuidad, estamos haciendo referencia al producto del área y la rapidez del fluido. Esto suele ser constante para un fluido incompresible. Y también nos damos cuenta que la rapidez es alta donde el tubo es estrecho, y baja donde el tubo es ancho, por lo que el gasto permanece constante en ambos lados del tubo. 😀

Una aplicación muy sencilla del fenómeno de la continuidad se puede observar al momento que alguien riega un poco de agua a través de una manguera, ya que allí se puede apreciar como al momento de presionar la salida de la manguera (o sea se reduce el caudal por donde sale el agua), vemos como el chorro de agua sale más disparada, aquí es donde comprobamos dicho concepto. Bien, ahora es momento de poner en práctica la teoría.

🔸 Ejercicios Resueltos de Continuidad

Como es costumbre, no podemos dar por completo un tema sino tenemos los ejercicios necesarios para darlo por hecho.

Ejemplo 1.- Por una tubería de 3.9 cm de diámetro circula agua a una velocidad cuya magnitud es de 4.5 m/s. En la parte final de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.25 cm. ¿qué magnitud de velocidad llevará el agua en este punto?

Solución:

Lo primero será recaudar nuestros datos implícitos en el problema.

$\displaystyle {{d}_{1}}=3.9cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.039m$

$\displaystyle {{v}_{1}}=4.5\frac{m}{s}$

$\displaystyle {{d}_{2}}=2.25cm\left( \frac{1m}{100cm} \right)=0.0225m$

$\displaystyle {{v}_{2}}=?$

Bien, si nos damos cuenta no tenemos el área, pero si tenemos los diámetros de la tubería, lo que nos facilita poder obtener las áreas. Así que procedemos a calcularlas.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.039m)}^{2}}}{4}=1.19x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}$

Luego con la otra:

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.0225m)}^{2}}}{4}=0.398x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}$

Con lo que establecemos, la ecuación de continuidad y despejamos nuestra incógnita.

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Despejando:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Sustituyendo datos:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{(1.19x{{10}^{-3}}{{m}^{2}})(4.5\frac{m}{s})}{0.398x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}}=13.5\frac{m}{s}$

Por lo que la velocidad del agua en la salida, será de 13.5 m/s

Ejemplo 2.- Por una manguera de bomberos de 0.25 metros de diámetro sale a presión agua que fluye a una velocidad de 10.5 m/s, si la manguera se achica en su boquilla de salida a 0.1 metros de diámetro ¿con qué velocidad saldrá el chorro?

Solución:

Nuevamente recolectamos los datos del problema.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.25m)}^{2}}}{4}=0.0491{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(0.1m)}^{2}}}{4}=7.85x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}$

$\displaystyle {{v}_{1}}=10.5\frac{m}{s}$

$\displaystyle {{v}_{2}}=?$

Con eso nos damos cuenta, que variable despejar y como sustituir nuestros datos:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{(0.0491{{m}^{2}})(10.5\frac{m}{s})}{7.85x{{10}^{-3}}{{m}^{2}}}=65.68\frac{m}{s}$

Lo que podemos observar que es una rapidez increíble.

📃 Ejercicios para Practicar de Ecuación de Continuidad

Problema 3.- Por una tubería de 5.08 cm de diámetro circula agua a una velocidad cuya magnitud es de 1.6 m/s. Calcular la magnitud de la velocidad que llevará el agua al pasar por un estrechamiento de la tubería donde el diámetro es de 4 cm.

👉 Ver Solución

Problema 4.- Un túnel de agua tiene una sección transversal circular que se restringe de un diámetro de 3.6 metros a la sección de prueba, que es de 1.2 metros de diámetro. Si la velocidad de flujo es de 3 m/s en el tubo de diámetro mayor, determine la velocidad del fluido en la sección de prueba.

👉 Ver Solución

Problema 5.- Un jardinero usa una manguera para llenar una cubeta de 30 litros, el jardinero observa que tarda 2 minutos en llenar la cubeta. A la manguera se le conecta una boquilla con abertura de 0.5 cm² de área de sección transversal ¿a qué velocidad saldrá el chorro de agua?