En Fisimat hemos pensado mucho para crear el título de éste artículo, ya que existen diversas variantes de nombre dependiendo el autor o investigador. Podemos encontrar éste tema con el nombre del Principio de Bernoulli también cómo el Teorema de Bernoulli y en otras fuentes de varios autores que han realizado libros importantes de Física , lo han nombrado también como la Ecuación de Bernoulli , pero aclaramos ante todos, que estos nombres relacionan exactamente a lo mismo. No se confundan si en algún momento mencionamos un nombre y luego otro. Esto es con la finalidad de familiarizarse con las definiciones y que no nos tomen en curva nuestros conocimientos 😎

Bien ahora es momento de comenzar y vamos a partir de la teoría que necesitamos conocer, porque sin esa teoría no comprenderemos en absoluto la solución de los ejercicios o ejemplos aquí propuestos para su desarrollo. Hasta ahora hemos hablado de los parámetros de presión, densidad, y velocidad. Pero hace falta mencionar a la altura que simbolizaremos con una letra “h”, en algunos libros de mecánica de fluidos lo hacen con una “z”, bien a la altura se le toma dependiendo de algún nivel de referencia. Pues bien, el primero en relacionar éstas cantidades fue el gran matemático suizo Daniel Bernoulli (1700 – 1782).

Aquí una pequeña Biografía de el Daniel Bernoulli.

Daniel Bernoulli nació en Suiza y realizó grandes contribuciones en la dinámica de fluidos, publicó su obra más famosa en 1738 titulada “Hidrodinámica“, donde advertía sobre el estudio teórico y práctico del equilibrio, la presión y la rapidez en los fluidos. De allí deduce el “Principio de Bernoulli” un concepto que expresa que a medida que aumenta la rapidez de un fluido , su presión disminuye. Con esto la ley de la conservación de la energía se cumple cuando los líquidos están en movimiento, de allí deduce el siguiente enunciado:

En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de aquellas energías como la cinética, potencial y de presión (o energía de flujo) que posee cierto líquido en un punto, es igual a la suma de éstas energías en otro punto cualquiera.

Esto daba un cambio rotundo al conocimiento que se tenía de los fluidos en ese tiempo, ya que a pesar que se dedujo solo para fluidos, en los gases es aplicable también.

Deducción de la ecuación de Bernoulli

Para deducir la ecuación de lo que proponía Bernoulli en su libro, es necesario considerar la siguiente imagen.

Como se basa en la ley de la conservación de la energía, entonces deducimos los siguientes tres tipos:

1.- Energía cinética: Debido a la velocidad y a la masa del líquido. Denotada por la siguiente fórmula:

\displaystyle {{E}_{c}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}

2.- Energía potencial: Debido a la altura del líquido, respecto a cualquier punto de referencia, y dada por la siguiente fórmula:

\displaystyle {{E}_{p}}=mgh

3.- Energía de flujo o de Presión: Originada por la presión que las moléculas del fluido que actúan entre si, por lo que el trabajo realizado para el desplazamiento de éstas moléculas es igual a la energía ante mencionada.

\displaystyle {{E}_{flujo}}=P\frac{m}{\rho }

Hay una deducción matemática que parte del trabajo neto realizado por las moléculas, pero no la explicaremos por ahora, de ser necesaria la incluiremos en los comentarios.

Así, de acuerdo con el teorema de Bernoulli , la suma de las energías de un punto inicial, deberá ser igual a las energías obtenidas en la salida. Entonces matemáticamente tenemos lo siguiente:

\displaystyle E{{c}_{1}}+E{{p}_{1}}+{{E}_{presion1}}=E{{c}_{2}}+E{{p}_{2}}+{{E}_{presion2}}

Al sustituir las energías, tenemos que:

\displaystyle \frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+mg{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}m}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+mg{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}m}{{{\rho }_{2}}}

Vamos a dividir la ecuación por la masa, ya que es una variable que se repite en todas las expresiones.

\displaystyle \frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}

Qué vendría a ser la ecuación de Bernoulli, y esta ecuación es aplicable en todos los aspectos de flujo de fluidos, solo que debemos tener en cuenta que la presión P debe tomarse como la presión absoluta y no la presión manométrica, todas las unidades finalmente son en presión.

Es importante observar que se desprecian las pérdidas de energía causadas por la viscosidad de todo líquido que está en movimiento. Es quizá una de las consideraciones que el Teorema de Bernoulli no toma en cuenta.

Restricciones de la Ecuación de Bernoulli

Aunque la ecuación de Bernoulli se aplica a muchos problemas prácticos, o ejemplos hay ciertas limitaciones que se deben de considerar, a fin de aplicarse con la propiedad adecuada.

1.- Es válida solamente para fluidos incompresibles, ya que el peso específico del fluido permanece constante en la secció inicial y final.
2.- No puede haber sistemas mecánicos que agregen o retiren energía del sistema entre la sección inicial y final , ya que la energía del sistema permanece constante.
3.- Al igual que el punto dos, no puede haber transferencia de calor facia el fluido o fuera de éste.
4.- No debe considerarse la pérdida de energía debido a la fricción.

Aunque realmente ningún sistema existente satisface las restricciones, hay muchos sistemas que necesitan de la ecuación de Bernoulli, ya que los errores generados son mínimos.

Ejercicios Resueltos del Principio de Bernoulli

Problema 1: Un flujo de agua va de la sección 1 a la seccion 2. La sección 1 tiene 25 mm de diámetro, la presión manométrica es de 345 kPa, y la velocidad de flujo es de 3 m/s. La sección 2, mide 50 mm de diámetro, y se encuentra a 2 metros por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión “P2”

Solución: Tenemos que analizar nuestros datos, es decir, que es lo qué si tenemos y lo que nos hace falta por encontrar, así también realizar el despeje de la variable que vamos a calcular. Entonces procedemos:

Datos:

d1 = 25 mm

d2 = 50 mm

p1 =345 Kpa

v1 = 3 m/s

d2 = 50 mm

p2  =?

Si leemos bien el problema, nos daremos cuenta que tenemos la altura, ya que si hacemos h2 – h1 = 2 metros. Por lo que nos ahorramos algo de cálculo. Finalmente procedemos a despejar a p2 de la fórmula que ya tenemos:

\displaystyle \frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}+g{{h}_{1}}+\frac{{{p}_{1}}}{{{\rho }_{1}}}=\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{2}}+\frac{{{p}_{2}}}{{{\rho }_{2}}}

Despejando y para hacer más fácil el proceso, recordemos que la densidad del agua no tendrá ninguna variación tanto al inicio como al final, entonces podemos decir que la densidad será constante, y la podemos omitir para el cálculo.

\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{1}}-g{{h}_{2}}+{{p}_{1}}

Sin embargo nos hace falta v2, ya que no la tenemos, pero si tenemos el dato de los diámetros, entonces si recordamos bien; podemos hacer uso de la ecuación de continuidad  qué es una ecuación que deriva del gasto .

Así que:

\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}

Despejando a “v2”

\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}

Calculando ahora las áreas 1 y 2.

\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(25mm)}^{2}}}{4}=491m{{m}^{2}}

La otra área

\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(50mm)}^{2}}}{4}=1963m{{m}^{2}}

Ahora de la ecuación de continuidad tenemos que:

\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{\left( 491m{{m}^{2}} \right)\left( 3\frac{m}{s} \right)}{1963m{{m}^{2}}}=0.75\frac{m}{s}

Ahora si podemos utilizar nuestra fórmula despejada de la presión en 2.

\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{{v}_{2}}^{2}+g{{h}_{1}}-g{{h}_{2}}+{{p}_{1}}

Factorizamos un poco… 😎

\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}\left( {{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2} \right)+g\left( {{h}_{1}}-{{h}_{2}} \right)+{{p}_{1}}

Sustituimos todos nuestros datos

\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}\left( {{(3)}^{2}}-{{(0.75)}^{2}} \right)+(9.81)\left( 0-2 \right)+345kPa

Por lo que el resultado nos da:

\displaystyle {{p}_{2}}=329.6kPa

Qué sería la presión en la sección 2, recordemos que ésta información es cierta. Ya que la presión disminuyó.

Aplicación de la Ecuación de Bernoulli

Existen dos grandes aplicaciones del principio de Bernoulli, entre ellas está el Principio o Teorema de Torricelli y el tubo de Venturi. Por ahora daremos una breve reseña ya que si quieres aprender a resolver ejercicios de ambos temas, tendrás que ir al artículo de cada estudio.

Teorema de Torricelli

Es una de las aplicaciones del teorema de Bernoulli, que se tiene cuando se desea encontrar la magnitud de velocidad de salida que tiene un líquido a través de algún orificio de cualquier recipiente.

Tubo de Venturi

El tubo de Venturi se emplea para calcular la velocidad de un líquido que circula a presión dentro de una tubería. Su funcionamiento está fundamentado en el teorema de Bernoulli.