Polinomios - Ejercicios Resueltos

En esta sección comenzaremos a estudiar los polinomios. Los polinomios aparecerán en prácticamente todas las secciones de cada capítulo en el resto de este material, por lo que es muy importante que los entiendas bien. 🤓

¿Qué es un Polinomio en una Variable?

Para empezar, definiremos los polinomios en una variable. Un polinomio en una variable es una expresión algebraica que consiste en términos de la forma \(a{x^n}\), donde \(n\) es un entero no negativo (es decir, positivo o cero) y \(a\) es un número real llamado coeficiente del término. El grado de un polinomio en una variable es el exponente más grande en el polinomio.

Nota que a menudo omitiremos "en una variable" y simplemente diremos polinomio.

Aquí tienes algunos ejemplos de polinomios y sus grados.

\[\begin{align*}& 5{x^{12}} - 2{x^6} + {x^5} - 198x + 1 & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado:}}\,\,12\\ & {x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1 & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado:}}\,\,4\\ & 56{x^{23}}\hspace{0.5in} & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado:}}\,\,23\\ & 5x - 7 & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado:}}\,\,1\\ & - 8& \hspace{0.5in} & {\mbox{grado:}}\,\,0\end{align*}\]

Como puedes ver, un polinomio no tiene que contener todas las potencias de \(x\), como se muestra en el primer ejemplo. Además, los polinomios pueden consistir en un solo término, como vemos en el tercer y quinto ejemplo.

Deberíamos analizar un poco más el último ejemplo. Realmente es un polinomio, aunque no lo parezca. Recuerda que un polinomio es cualquier expresión algebraica que consta de términos de la forma \(a{x^n}\). Otra forma de escribir el último ejemplo es:

\[ - 8{x^0}\]

Escrito de esta manera, queda claro que el exponente de la \(x\) es cero (lo que también explica el grado...), y así podemos ver que realmente es un polinomio en una variable.

Expresiones que NO son Polinomios

A continuación, algunos ejemplos de expresiones que no son polinomios.

\[\begin{align*}& 4{x^6} + 15{x^{ - 8}} + 1\\ & 5\sqrt x - x + {x^2}\\ & \frac{2}{x} + {x^3} - 2\end{align*}\]

La primera expresión no es un polinomio porque tiene un exponente negativo, y todos los exponentes en un polinomio deben ser enteros no negativos.

Para ver por qué la segunda no es un polinomio, reescribámosla un poco.

\[5\sqrt x - x + {x^2} = 5{x^{\frac{1}{2}}} - x + {x^2}\]

Al convertir la raíz a su forma de exponente, vemos que hay un exponente fraccionario. Todos los exponentes en una expresión algebraica deben ser enteros no negativos para que sea un polinomio. Como regla general, si una expresión algebraica tiene un radical afectando a una variable, no es un polinomio.

Reescribamos también la tercera para ver por qué no es un polinomio.

\[\frac{2}{x} + {x^3} - 2 = 2{x^{ - 1}} + {x^3} - 2\]

Esta expresión algebraica en realidad tiene un exponente negativo, lo cual no está permitido. Otra regla general es que si hay alguna variable en el denominador de una fracción, la expresión no es un polinomio.

Ojo, esto no significa que los radicales y las fracciones no estén permitidos en los polinomios. Simplemente no pueden involucrar a las variables. Por ejemplo, la siguiente expresión SÍ es un polinomio:

\[\sqrt[3]{5}\,{x^4} - \frac{7}{{12}}{x^2} + \frac{1}{{\sqrt 8 }}x - 5\,\,\sqrt[{14}]{{113}}\]

Hay muchos radicales y fracciones en esta expresión, pero los denominadores de las fracciones y los radicandos de cada radical son solo números. Cada \(x\) aparece en el numerador y su exponente es un entero positivo (o cero). Por lo tanto, esto sí es un polinomio.

Polinomios en dos o más variables

Ahora, echemos un vistazo rápido a los polinomios en dos variables. Estos son expresiones algebraicas que consisten en términos de la forma \(a{x^n}{y^m}\). El grado de cada término en un polinomio de dos variables es la suma de los exponentes de cada término (\(n+m\)), y el grado del polinomio es la suma más grande encontrada entre todos sus términos.

Aquí hay algunos ejemplos de polinomios en dos variables y sus grados.

\[\begin{align*} & {x^2}y - 6{x^3}{y^{12}} + 10{x^2} - 7y + 1 & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado: }}15\\ & 6{x^4} + 8{y^4} - x{y^2} & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado: 4}}\\ & {x^4}{y^2} - {x^3}{y^3} - xy + {x^4} & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado: 6}}\\ & 6{x^{14}} - 10{y^3} + 3x - 11y & \hspace{0.5in} & {\mbox{grado: 14}}\end{align*}\]

En estos polinomios, no todos los términos necesitan tener ambas variables, \(x\) e \(y\). De hecho, como vemos en el último ejemplo, pueden no tener ningún término que contenga ambas. Además, el grado del polinomio puede provenir de un término con una sola variable. Ten en cuenta también que varios términos pueden tener el mismo grado.

Podemos hablar de polinomios en tres, cuatro o tantas variables como necesitemos. Sin embargo, la gran mayoría de los polinomios que veremos en este curso son de una variable.

Terminología Básica: Monomio, Binomio y Trinomio

Antes de continuar, aclaremos un poco de terminología. Un monomio es un polinomio que consta de exactamente un término. Un binomio es un polinomio que consta de exactamente dos términos. Finalmente, un trinomio es un polinomio que consta de exactamente tres términos. Usaremos estos nombres de vez en cuando, así que deberías familiarizarte con ellos.

Operaciones con Polinomios

Ahora vamos a hablar sobre la suma, resta y multiplicación de polinomios. Notarás que omitimos la división, la cual se discutirá en una sección posterior.

Antes de comenzar, recordemos la ley distributiva, ya que la usaremos repetidamente:

\[a\left( {b + c} \right) = ab + ac\]

Suma y Resta de Polinomios

La mejor manera de entender esto es con un par de ejemplos.

Solución:

Primero, escribimos la operación:

\[\left( {6{x^5} - 10{x^2} + x - 45} \right) + \left( {13{x^2} - 9x + 4} \right)\]

Para sumar polinomios, simplemente combinamos los términos semejantes. Esto significa que para cada término con el mismo exponente, sumamos o restamos sus coeficientes.

\[\begin{align*}\left( {6{x^5} - 10{x^2} + x - 45} \right) + \left( {13{x^2} - 9x + 4} \right) & = 6{x^5} + \left( { - 10 + 13} \right){x^2} + \left( {1 - 9} \right)x - 45 + 4\\ & = 6{x^5} + 3{x^2} - 8x - 41\end{align*}\]

Solución:

Nuevamente, escribimos la operación con cuidado del orden:

\[{x^2} + x + 1 - \left( {5{x^3} - 9{x^2} + x - 3} \right)\]

Aquí, los paréntesis en el segundo término son obligatorios. Estamos restando el polinomio completo. El primer paso es distribuir el signo negativo, lo que cambia el signo de cada término dentro del paréntesis. Luego, combinamos términos semejantes.

\[\begin{align*}{x^2} + x + 1 - \left( {5{x^3} - 9{x^2} + x - 3} \right) & = {x^2} + x + 1 - 5{x^3} + 9{x^2} - x + 3\\ & = - 5{x^3} + 10{x^2} + 4\end{align*}\]

Observa que a veces un término desaparece por completo después de combinar, como le pasó a la \(x\) en este caso. Esto es normal.

Multiplicación de Polinomios

Pasemos ahora a la multiplicación, que también se entiende mejor con ejemplos.

Solución:

Esto es una aplicación directa de la ley distributiva.

\[4{x^2}\left( {{x^2} - 6x + 2} \right) = 4{x^4} - 24{x^3} + 8{x^2}\]

Solución:

Aquí podemos usar el método FOIL (First, Outer, Inner, Last) para multiplicar dos binomios.

\[\require{color}\left( {3x + 5} \right)\left( {x - 10} \right) = \underbrace {\,\,\,\,3{x^2}\,\,}_{{{\color{Red}\mbox{P}}\mbox{rimeros}}} - \underbrace {\,\,\,30x\,\,\,}_{{\color{Red}\mbox{E}}{\mbox{xternos}}} + \underbrace {\,\,\,\,5x\,\,\,\,}_{{\color{Red}\mbox{I}}{\mbox{nternos}}} - \underbrace {\,\,\,\,50\,\,\,\,}_{{\color{Red}\mbox{Ú}}{\mbox{ltimos}}} = 3{x^2} - 25x - 50\]

Recuerda que el método FOIL solo funciona para multiplicar dos binomios. En realidad, es una forma de recordar que debes multiplicar cada término del segundo polinomio por cada término del primero.

Solución:

Aquí, el método FOIL no aplica porque el segundo polinomio no es un binomio. Simplemente multiplicamos cada término del segundo polinomio por cada término del primero.

\[\left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 2{x^3} - 2{x^2} + 2x + 3{x^2} - 3x + 3 = 2{x^3} + {x^2} - x + 3\]

Productos Notables

Hay algunas multiplicaciones que aparecen con tanta frecuencia que tienen fórmulas especiales, conocidas como productos notables. Veamos algunos ejemplos que ilustran estas fórmulas.

Solución:

Usando FOIL:

\[\left( {3x + 5} \right)\left( {3x - 5} \right) = 9{x^2} - 15x + 15x - 25 = 9{x^2} - 25\]

En este caso, los términos del medio se cancelan.

Solución:

Recordemos que elevar al cuadrado significa multiplicar la base por sí misma.

\[{\left( {2x + 6} \right)^2} = \left( {2x + 6} \right)\left( {2x + 6} \right) = 4{x^2} + 12x + 12x + 36 = 4{x^2} + 24x + 36\]

Estas operaciones corresponden a las siguientes fórmulas de productos notables:

\[\begin{align*}\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) & = {a^2} - {b^2} && \text{(Diferencia de cuadrados)}\\ {\left( {a + b} \right)^2} & = {a^2} + 2ab + {b^2} && \text{(Binomio al cuadrado)}\\ {\left( {a - b} \right)^2} & = {a^2} - 2ab + {b^2} && \text{(Binomio al cuadrado)}\end{align*}\]

¡Ten cuidado de no cometer estos errores comunes!

\[\begin{align*}{\left( {a + b} \right)^2} & \ne {a^2} + {b^2}\\ {\left( {a - b} \right)^2} & \ne {a^2} - {b^2}\end{align*}\]

Estos son errores muy frecuentes que los estudiantes cometen al empezar a multiplicar polinomios.

Ejercicios Resueltos de Polinomios

Pon a prueba tus habilidades con los siguientes problemas. Intenta resolverlos por tu cuenta antes de ver la solución.

Solución:

Para sumar los polinomios, agrupamos y combinamos los términos semejantes (aquellos con la misma variable y el mismo exponente).

\[\left( {4{x^3} - 2{x^2} + 1} \right) + \left( {7{x^2} + 12x} \right)\]\[ = 4{x^3} + \left( { - 2{x^2} + 7{x^2}} \right) + 12x + 1\]\[ = 4{x^3} + 5{x^2} + 12x + 1\]

Solución:

Escribimos la operación, recordando que el polinomio del que se resta va primero. Luego, distribuimos el signo negativo, lo que cambia el signo de cada término en el segundo polinomio.

\[\left( { - 10{z^6} + 7{z^2} - 8} \right) - \left( {4{z^6} - 3{z^2} + 2z} \right)\]\[ = - 10{z^6} + 7{z^2} - 8 - 4{z^6} + 3{z^2} - 2z\]

Finalmente, combinamos los términos semejantes.

\[ = \left( { - 10{z^6} - 4{z^6}} \right) + \left( {7{z^2} + 3{z^2}} \right) - 2z - 8\]\[ = - 14{z^6} + 10{z^2} - 2z - 8\]

Solución:

Planteamos la resta y distribuimos el signo negativo.

\[\left( {{x^4} + 7{x^3} - 12x - 1} \right) - \left( { - 3{x^2} + 7x + 8} \right)\]\[ = {x^4} + 7{x^3} - 12x - 1 + 3{x^2} - 7x - 8\]

Combinamos términos semejantes y ordenamos el polinomio de mayor a menor grado.

\[ = {x^4} + 7{x^3} + 3{x^2} + \left( { - 12x - 7x} \right) + \left( { - 1 - 8} \right)\]\[ = {x^4} + 7{x^3} + 3{x^2} - 19x - 9\]

Solución:

Aplicamos la propiedad distributiva, multiplicando el monomio \(12y\) por cada término dentro del paréntesis.

\[12y\left( {3{y^4} - 7{y^2} + 1} \right) = \left( {12y} \right)\left( {3{y^4}} \right) - \left( {12y} \right)\left( {7{y^2}} \right) + \left( {12y} \right)\left( 1 \right)\]

Recordamos que al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman (\(y^1 \cdot y^4 = y^5\)).

\[ = 36{y^5} - 84{y^3} + 12y\]

Solución:

Usamos el método FOIL (Primeros, Externos, Internos, Últimos) para multiplicar los dos binomios.

\[\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 9{x^2}} \right) = \underbrace {\left( {3x} \right)\left( 2 \right)}_{{\text{Primeros}}} + \underbrace {\left( {3x} \right)\left( { - 9{x^2}} \right)}_{{\text{Externos}}} + \underbrace {\left( 1 \right)\left( 2 \right)}_{{\text{Internos}}} + \underbrace {\left( 1 \right)\left( { - 9{x^2}} \right)}_{{\text{Últimos}}}\]\[ = 6x - 27{x^3} + 2 - 9{x^2}\]

Ordenamos el resultado de mayor a menor grado.

\[ = - 27{x^3} - 9{x^2} + 6x + 2\]

Solución:

Aplicamos nuevamente el método FOIL.

\[\left( {{w^2} + 2} \right)\left( {3{w^2} + w} \right) = \left( {{w^2}} \right)\left( {3{w^2}} \right) + \left( {{w^2}} \right)\left( w \right) + \left( 2 \right)\left( {3{w^2}} \right) + \left( 2 \right)\left( w \right)\]\[ = 3{w^4} + {w^3} + 6{w^2} + 2w\]

El polinomio ya está ordenado y no hay términos semejantes que combinar.

Solución:

Este es un caso de producto notable: binomios conjugados o diferencia de cuadrados, que sigue la fórmula \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\).

Aquí, \(a = 4{x^6}\) y \(b = 3x\).

\[\left( {4{x^6} - 3x} \right)\left( {4{x^6} + 3x} \right) = {\left( {4{x^6}} \right)^2} - {\left( {3x} \right)^2}\]\[ = 16{x^{12}} - 9{x^2}\]

Solución:

Primero, desarrollamos el binomio al cuadrado usando la fórmula \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\), donde \(a=10\) y \(b=4y^3\).

\[{\left( {10 - 4{y^3}} \right)^2} = {10^2} - 2\left( {10} \right)\left( {4{y^3}} \right) + {\left( {4{y^3}} \right)^2} = 100 - 80{y^3} + 16{y^6}\]

Ahora, multiplicamos todo el resultado por 3.

\[3\left( {100 - 80{y^3} + 16{y^6}} \right) = 300 - 240{y^3} + 48{y^6}\]

Ordenando el polinomio, obtenemos:

\[ = 48{y^6} - 240{y^3} + 300\]

Solución:

Multiplicamos cada término del primer trinomio por cada término del segundo trinomio.

\[ = {x^2}\left( {3{x^2} - 8x - 7} \right) + x\left( {3{x^2} - 8x - 7} \right) - 2\left( {3{x^2} - 8x - 7} \right)\]\[ = \left( {3{x^4} - 8{x^3} - 7{x^2}} \right) + \left( {3{x^3} - 8{x^2} - 7x} \right) + \left( { - 6{x^2} + 16x + 14} \right)\]

Agrupamos y combinamos términos semejantes.

\[ = 3{x^4} + \left( { - 8{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( { - 7{x^2} - 8{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( { - 7x + 16x} \right) + 14\]\[ = 3{x^4} - 5{x^3} - 21{x^2} + 9x + 14\]

Solución:

Primero, simplificamos el término que vamos a restar. Desarrollamos el binomio al cuadrado:

\[3{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 3\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2\left( {{x^2}} \right)\left( 1 \right) + {1^2}} \right) = 3\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) = 3{x^4} + 6{x^2} + 3\]

Ahora realizamos la resta.

\[\left( {6{x^3} - 9{x^2} - 13x - 4} \right) - \left( {3{x^4} + 6{x^2} + 3} \right)\]\[ = 6{x^3} - 9{x^2} - 13x - 4 - 3{x^4} - 6{x^2} - 3\]

Finalmente, combinamos términos semejantes y ordenamos el resultado.

\[ = - 3{x^4} + 6{x^3} + \left( { - 9{x^2} - 6{x^2}} \right) - 13x + \left( { - 4 - 3} \right)\]\[ = - 3{x^4} + 6{x^3} - 15{x^2} - 13x - 7\]

Ejercicios para Practicar en PDF

No hay mejor manera de aprender que resolver los ejercicios tu mismo, he realizado un PDF para que puedas practicar sin problemas. Las soluciones de estos ejercicios estarán en nuestro canal de Youtube de Fisimat.

Conclusión

Los polinomios son pilares fundamentales del álgebra. Comprender su definición, grado y cómo realizar operaciones básicas como la suma, resta y multiplicación es esencial para avanzar en matemáticas. Recuerda las reglas clave: los exponentes deben ser enteros no negativos y las variables no pueden estar en el denominador. Dominar los productos notables te ahorrará tiempo y te ayudará a evitar errores comunes en el futuro. ¡Sigue practicando!