Derivadas Inversas Trigonométricas

Hasta este momento cualquier estudiante debe de estar familiarizado con el uso de las fórmulas de derivación que hemos visto a lo largo de varios artículos de derivadas resueltas paso a paso, ya que las derivadas de funciones trigonométricas inversas implicará conocer las reglas básicas de derivación. ¡Recuerde que puede recurrir a ver nuevamente los ejemplos para asegurarse del conocimiento adquirido!.

Fórmulas de Derivación de Funciones Trigonométricas Inversas

Las siguientes fórmulas son las que emplearemos en los siguientes ejemplos resueltos.

\displaystyle \frac{d}{dx}arcsen\,u=\frac{\frac{du}{dx}}{\sqrt{1-{{u}^{2}}}}

\displaystyle \frac{d}{dx}\arccos \,u=-\frac{\frac{du}{dx}}{\sqrt{1-{{u}^{2}}}}

\displaystyle \frac{d}{dx}\arctan \,u=\frac{\frac{du}{dx}}{{{u}^{2}}+1}

\displaystyle \frac{d}{dx}arc\cot \,u=-\frac{\frac{du}{dx}}{{{u}^{2}}+1}

\displaystyle \frac{d}{dx}arc\sec \,u=\frac{\frac{du}{dx}}{u\sqrt{{{u}^{2}}-1}}

\displaystyle \frac{d}{dx}arc\csc \,u=-\frac{\frac{du}{dx}}{u\sqrt{{{u}^{2}}-1}}

Es momento de realizar algunos ejercicios.

Gráfica de las funciones Trigonométricas Inversas

Gráfica de Funciones Trigonométricas Inversas

Derivadas Trigonométricas Inversas Resueltas

Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=arcsen\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right)

Solución:

Para este ejemplo observamos que nuestro argumento es u = x³-x²+1 , aplicando la fórmula esto nos quedaría:

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt{1-{{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}

Que al resolver la derivada, finalmente obtenemos:

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\frac{3{{x}^{2}}-2x}{\sqrt{1-{{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}

Ejemplo 2. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\arctan \sqrt{x}

Solución:

En este caso, nuestro argumento es u = √x , aplicando nuestra fórmula de derivada para el arco tangente tenemos.

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+1}

Derivando la raíz cuadrada:

\displaystyle y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+1}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x+1}

Aplicando la ley de la herradura (división de cocientes).

▶ Resultado:

\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x}\left( x+1 \right)}

Ejemplo 3. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=arc\sec \left( \frac{1}{x} \right)

Solución:

Observamos que nuestro argumento es u = 1/x , pero escribiéndola en su forma recíproca esto es x¯ ¹, aplicando la fórmula tenemos:

\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( {{x}^{-1}} \right)}{{{x}^{-1}}\sqrt{{{\left( {{x}^{-1}} \right)}^{2}}-1}}

Derivando la parte del numerador, tenemos:

\displaystyle y'=\frac{-{{x}^{-2}}}{{{x}^{-1}}\sqrt{{{\left( {{x}^{-1}} \right)}^{2}}-1}}

Ordenando el numerador en su forma recíproca.

\displaystyle y'=\frac{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}}

Hasta este punto ya está derivada la función, sin embargo es bueno arreglar la función aplicando un poco de álgebra.

\displaystyle y'=\frac{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}}=\frac{-x}{{{x}^{2}}\sqrt{\frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}}=-\frac{1}{x\left( \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}}} \right)}

Simplificando. . .

▶ Resultado:

\displaystyle y'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}

Ejemplo 4. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y={{\left[ \arccos \left( 2x-4 \right) \right]}^{4}}

Solución:

Para este ejemplo es lógico observar que nuestro argumento es u = arc cos (2x – 4), porque todo está elevado a la cuarta. Entonces primero vamos a derivar como una potencia, de esta forma.

\displaystyle y'=4{{\left[ \arccos \left( 2x-4 \right) \right]}^{4-1}}\frac{d}{dx}\arccos \left( 2x-4 \right)

Observamos que la derivada del arco coseno está dentro de la derivada de la potencia, entonces tenemos que seguir las reglas de derivación para el arco coseno.

\displaystyle y'=4{{\left[ \arccos \left( 2x-4 \right) \right]}^{3}}\left[ -\frac{\frac{d}{dx}\left( 2x-4 \right)}{\sqrt{1-{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}}} \right]

Vemos que existen nuevo argumento, diferente al argumento de la derivada principal. Posteriormente tenemos:

\displaystyle y'=4{{\left[ \arccos \left( 2x-4 \right) \right]}^{3}}\left[ -\frac{2}{\sqrt{1-{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}}} \right]

Multiplicando la parte del numerador, obtenemos:

\displaystyle {y}'=-\frac{8{{\left[ \arccos \left( 2x-4 \right) \right]}^{3}}}{\sqrt{1-{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}}}

Que finalmente lo podemos dejar expresado de la siguiente manera:

▶ Resultado:

\displaystyle y'=-\frac{8{{\arccos }^{3}}\left( 2x-4 \right)}{\sqrt{1-{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}}}

Ejemplo 5. Resuelva la siguiente derivada 

\displaystyle y=\sqrt{arc\csc 6x}

Solución:

Para este ejemplo podemos convertir a la función en su forma de potencia, de esta manera:

\displaystyle y=\sqrt{arc\csc 6x}={{\left( arc\csc 6x \right)}^{\frac{1}{2}}}

Ahora para poder derivar, verificamos que el argumento será u = arc csc 6x, y derivaremos como una potencia.

\displaystyle y'=\frac{1}{2}{{\left( arc\csc 6x \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{d}{dx}\left( arc\csc 6x \right)

Simplificando y aplicando la fórmula de derivación para un arco cosecante.

\displaystyle y'=\frac{1}{2}{{\left( arc\csc 6x \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left[ -\frac{\frac{d}{dx}\left( 6x \right)}{6x\sqrt{{{\left( 6x \right)}^{2}}-1}} \right]

Resolviendo la derivada obtenemos:

\displaystyle y'=\frac{1}{2}{{\left( arc\csc 6x \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left[ -\frac{6}{6x\sqrt{{{\left( 6x \right)}^{2}}-1}} \right]

Simplificando numerador y denominador

\displaystyle y'=\frac{1}{2}{{\left( arc\csc 6x \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left[ -\frac{1}{x\sqrt{{{\left( 6x \right)}^{2}}-1}} \right]

Multiplicando y ordenando, para obtener el resultado final

▶ Resultado:

\displaystyle y'=-\frac{1}{2x\sqrt{arc\csc 6x}\sqrt{{{\left( 6x \right)}^{2}}-1}}