La distancia de un punto a una recta es un tema de gran importancia en geometría analítica, pues se puede hacer uso de este tema en temas de cálculo diferencial e integral, y física. Para ello vamos analizar su fórmula:
La fórmula está definida para una gráfica similar a la de la imagen:
Como podemos observar, lo que se calcula es la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado a partir del punto.
Veamos algunos ejemplos para entender mucho mejor este tema:
Ejemplos resueltos de la distancia de un punto a una Recta
Solución:
Para encontrar la distancia del punto A a la recta, solamente debemos sustituir nuestros datos en la fórmula, de la siguiente forma:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$
Sustituyendo las coordenadas del punto A y los coeficientes de la ecuación en la fórmula, vamos a obtener:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 6(3)-2(1)+11 \right|}{\sqrt{{{(6)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}$
Multiplicando el numerador, obtenemos:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{{{(6)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}$
Ahora realizamos las operaciones en el denominador:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{36+4}}=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{40}}$
El valor absoluto de 27 es 27, entonces:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{36+4}}=\frac{27}{\sqrt{40}}$
Por lo que el resultado, es:
Resultado:
$latex \displaystyle d=\frac{27}{\sqrt{40}}=4.269u$
Un aproximado a 4.269 unidades, de forma gráfica lo vemos así:
Veamos otro ejemplo.
Solución:
Para obtener la distancia, debemos de aplicar nuestra fórmula y sustituir nuestros datos, de tal forma que:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$
Sustituyendo datos en la fórmula:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 5(2)+4(3)+15 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}$
Realizando las operaciones en el numerador, tenemos que:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 10+12+15 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}$
Ahora realizamos las operaciones indicadas en el denominador:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{25+16}}=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{41}}$
El valor absoluto de 37 es 37.
$latex \displaystyle d=\frac{37}{\sqrt{41}}$
Por lo que el resultado es:
Resultado:
$latex \displaystyle d=\frac{37}{\sqrt{41}}=5.778u$
Que de forma gráfica, esto es:
Veamos otro ejemplo más 😀
Solución:
Nuevamente, para poder solucionar este problema que es similar a los dos anteriores. Veamos nuestra fórmula a utilizar:
Vamos a sustituir nuestros datos en la fórmula:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 2(1)+5(3)+10 \right|}{\sqrt{{{(2)}^{2}}+{{(5)}^{2}}}}$
Vamos a realizar las operaciones en la parte del numerador y algunas del denominador:
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 2+15+10 \right|}{\sqrt{4+25}}=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{4+25}}$
Simplificamos aún más . . .
$latex \displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{29}}$
El valor absoluto de 27 es 27, por lo que:
Resultado:
$latex \displaystyle d=\frac{27}{\sqrt{29}}=5.013u$
Qué sería la distancia del punto (1,3) a la recta dada. De forma gráfica esto se aprecia de la siguiente forma:
- Comparte este artículo:
- Twittear
Excelente explicacion
Tres puntos de captación de agua están en A(-400,100), B(-300,300) y C(300,-300). Haciendo referencia a un punto base. Por BC pasa una tubería, Determine la longitud de tubería que se necesita para unir el punto A hacia la tubería que une BC. ¿O cuáles de los puntos debe unirse para emplear la menor cantidad de tubería?
alguien que me ayude
Deseó saber cuál es la distancia del punto (2,3) a la recta x-3y+2=0
La distancia es de 1.582 unidades.
1.581 u
¡Como conocer un punto p=(x,y), teniendo como dato la recta L y la distancia del punto p a L.?