La distancia de un punto a una recta es un tema de gran importancia en geometría analítica, pues se puede hacer uso de este tema en temas de cálculo diferencial e integral, y física. Para ello vamos analizar su fórmula:

Formula de la distancia de un punto a una recta

La fórmula está definida para una gráfica similar a la de la imagen:

Como podemos observar, lo que se calcula es la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado a partir del punto.

Veamos algunos ejemplos para entender mucho mejor este tema:

Ejemplos resueltos de la distancia de un punto a una Recta

Ejemplo 1. Encuentre la distancia del punto A (3,1) a la recta 6x -2y +11 = 0  

Solución:

Para encontrar la distancia del punto A a la recta, solamente debemos sustituir nuestros datos en la fórmula, de la siguiente forma:

\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}

Sustituyendo las coordenadas del punto A y los coeficientes de la ecuación en la fórmula, vamos a obtener:

\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 6(3)-2(1)+11 \right|}{\sqrt{{{(6)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}

Multiplicando el numerador, obtenemos:

\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{{{(6)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}

Ahora realizamos las operaciones en el denominador:

\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{36+4}}=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{40}}

El valor absoluto de 27 es 27, entonces:

\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{36+4}}=\frac{27}{\sqrt{40}}

Por lo que el resultado, es:

▶ Resultado:

\displaystyle d=\frac{27}{\sqrt{40}}=4.269u

Un aproximado a 4.269 unidades, de forma gráfica lo vemos así:

Distancia del Punto a una Recta

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2. Determine la distancia de la recta 5x + 4y +15 = 0 al punto A (2, 3) 

Solución:

Para obtener la distancia, debemos de aplicar nuestra fórmula y sustituir nuestros datos, de tal forma que:

\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}

Sustituyendo datos en la fórmula:

\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 5(2)+4(3)+15 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}

Realizando las operaciones en el numerador, tenemos que:

\displaystyle d=\frac{\left| 10+12+15 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{{{(5)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}}

Ahora realizamos las operaciones indicadas en el denominador:

\displaystyle d=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{25+16}}=\frac{\left| 37 \right|}{\sqrt{41}}

El valor absoluto de 37 es 37.

\displaystyle d=\frac{37}{\sqrt{41}}

Por lo que el resultado es:

▶ Resultado:

\displaystyle d=\frac{37}{\sqrt{41}}=5.778u

Que de forma gráfica, esto es:

Veamos otro ejemplo más 😀

Ejemplo 3. Determine la distancia absoluta de la recta 2x + 5y +10 = 0 al punto A (1, 3) 

Solución:

Nuevamente, para poder solucionar este problema que es similar a los dos anteriores. Veamos nuestra fórmula a utilizar:

\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}

Vamos a sustituir nuestros datos en la fórmula:

\displaystyle d=\frac{\left| A{{x}_{1}}+B{{y}_{1}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}=\frac{\left| 2(1)+5(3)+10 \right|}{\sqrt{{{(2)}^{2}}+{{(5)}^{2}}}}

Vamos a realizar las operaciones en la parte del numerador y algunas del denominador:

\displaystyle d=\frac{\left| 2+15+10 \right|}{\sqrt{4+25}}=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{4+25}}

Simplificamos aún más . . .

\displaystyle d=\frac{\left| 27 \right|}{\sqrt{29}}

El valor absoluto de 27 es 27, por lo que:

▶ Resultado:

\displaystyle d=\frac{27}{\sqrt{29}}=5.013u

Qué sería la distancia del punto (1,3) a la recta dada. De forma gráfica esto se aprecia de la siguiente forma:

Distancia de un punto a una recta