Pendiente - Ordenada al Origen

Dentro de nuestro estudio de Geometría Analítica, una vez que entendemos que la ecuación de la recta la podemos encontrar mediante un punto y pendiente, o cuando pasa por dos puntos. También tenemos el caso de la ecuación de la recta con los datos de la pendiente y la ordenada al origen (intersección con el eje “y” ) , se da por la siguiente ecuación:

Es muy fácil obtener dicha ecuación, si consideramos que existe una recta L , cuya pendiente es “m” y pasa a través del punto B (0, b), entonces tenemos algo similar a la siguiente gráfica.

Asumiendo que la ecuación de la recta, teniendo un punto y pendiente es de la siguiente forma:

$\displaystyle y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

Si tenemos solamente un punto que es el punto B, cuyas coordenadas son (0,b); entonces podemos decir que:

$\displaystyle {{x}_{1}}=0$

$\displaystyle {{y}_{1}}=b$

De aquí sustituimos en la fórmula anterior y decimos que:

$\displaystyle y-b=m(x-0)$

Multiplicando en el segundo miembro:

$\displaystyle y-b=mx$

Despejando a “y”, tenemos

$\displaystyle y=mx+b$

Qué es prácticamente, la forma reducida o simplificada de la recta. Ahora veamos algunos ejemplos para poner en práctica la ecuación de la recta pendiente – ordenada al origen.

Ejercicios de la Ecuación de la Recta Pendiente – Ordenada al origen

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente (-2/7) y su intersección con el eje y es 3. 

Solución:

Los datos que tenemos del problema, es tanto la pendiente: m= -2/7 y la ordenada al origen es b = 3.

Al sustituir nuestros datos, obtenemos:

$\displaystyle y=mx+b$

De aquí:

$\displaystyle y=-\frac{2}{7}x+3$

Multiplicando toda la ecuación por 7, para hacer más cómoda las operaciones. Obtenemos:

$\displaystyle 7\left( y \right)=7\left( -\frac{2}{7}x+3 \right)$

Tenemos que:

$\displaystyle 7y=-2x+21$

Igualando la ecuación a cero, obtenemos:

▶ Resultado:

$\displaystyle 2x+7y-21=0$

Qué gráficamente, la podemos observar de la siguiente forma:Ecuación de la Recta Ordenada al Origen - Pendiente

Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje Y es 5 y su pendiente -3. 

Solución:

Para este caso, hacemos los pasos similares al ejemplo anterior. Buscamos nuestros datos, que suelen ser muy claro. Nuestra pendiente es m = -3, y nuestra ordenada al origen es b = 5. Pasamos estos datos a nuestra fórmula, y tenemos:

$\displaystyle y=mx+b$

Entonces:

$\displaystyle y=-3x+5$

Igualando a cero:

$\displaystyle y+3x-5=0$

Ordenando, obtenemos. Nuestro resultado:

▶ Resultado:

$\displaystyle 3x+y-5=0$

Qué gráficamente, lo podemos observar como:

Ecuación de la Recta pendiente - ordenada

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2 y su intersección con el eje y es (-5/2). 

Solución: 

Retomando los datos dados por el problema, sabemos que m = 2 y que b = -5/2. Sustituyendo estos valores en nuestra fórmula. Tenemos entonces que:

$\displaystyle y=mx+b$

Dónde:

$\displaystyle y=2x+\left( -\frac{5}{2} \right)$

Eliminando el paréntesis

$\displaystyle y=2x-\frac{5}{2}$

Multiplicando toda la ecuación por 2

$\displaystyle 2\left( y \right)=2\left( 2x-\frac{5}{2} \right)$

Quedando así:

$\displaystyle 2y=4x-5$

Igualando la ecuación a cero.

▶ Resultado:

$\displaystyle 4x-2y-5=0$

Qué gráficamente, esto es.

Ecuación de la Recta