Funciones Inversas - Ejercicios Resueltos [Guía Completa]

En el mundo de las matemáticas, a menudo nos encontramos con operaciones que se "deshacen" entre sí. Por ejemplo, la resta deshace la suma y la división deshace la multiplicación. En el ámbito de las funciones, existe un concepto análogo: las funciones inversas. Una función inversa es, en esencia, una función que revierte el efecto de otra, devolviéndonos al punto de partida. Comprender este concepto es fundamental en cálculo, álgebra y muchas otras áreas de la ciencia y la ingeniería.

En el último ejemplo de la sección anterior, analizamos las dos funciones \(f\left( x \right) = 3x - 2\) y \(g\left( x \right) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\) y vimos que:

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

Como se señaló en esa sección, esto significa que existe una relación especial entre estas dos funciones. Veamos cuál es esa relación. Considera las siguientes evaluaciones:

\[\require{color} \begin{align*}f\left( { \color{PineGreen}- 1} \right) & = 3\left( { - 1} \right) - 2 = {\color{Red}- 5} \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & g\left( {\color{Red} - 5} \right) & = \frac{{ - 5}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 3}}{3} = {\color{PineGreen}- 1}\\ & & & \\ g\left( {\color{PineGreen}2} \right) & = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = {\color{Red}\frac{4}{3}}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & f\left( {\color{Red}\frac{4}{3}} \right) & = 3\left( {\frac{4}{3}} \right) - 2 = 4 - 2 = {\color{PineGreen}2}\end{align*}\]

En el primer caso, introdujimos \(x = -1\) en \(f(x)\) y obtuvimos un valor de \(-5\). Luego, dimos la vuelta e introdujimos \(x = -5\) en \(g(x)\) y obtuvimos un valor de -1, el número con el que empezamos.

En el segundo caso, hicimos algo similar. Aquí introdujimos \(x = 2\) en \(g(x)\) y obtuvimos un valor de \(\frac{4}{3}\), dimos la vuelta e introdujimos este valor en \(f(x)\) y obtuvimos un valor de 2, que es de nuevo el número con el que empezamos.

Nótese que aquí realmente estamos haciendo una composición de funciones. El primer caso es en realidad:

\[\left( {g \circ f} \right)\left( { - 1} \right) = g\left[ {f\left( { - 1} \right)} \right] = g\left[ { - 5} \right] = - 1\]

Y el segundo caso es:

\[\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right) = f\left[ {g\left( 2 \right)} \right] = f\left[ {\frac{4}{3}} \right] = 2\]

Observa también que ambos concuerdan con la fórmula para las composiciones que encontramos en la sección anterior. Obtenemos de vuelta en la evaluación de la función el número que originalmente introdujimos en la composición.

Entonces, ¿qué está pasando aquí? De alguna manera, podemos pensar en estas dos funciones como si una deshiciera lo que la otra le hizo a un número. En el primer caso, introdujimos \(x = -1\) en \(f(x)\) y luego el resultado de esta evaluación de función lo introdujimos de nuevo en \(g(x)\) y de alguna manera \(g(x)\) deshizo lo que \(f(x)\) le había hecho a \(x = -1\) y nos devolvió el \(x\) original con el que empezamos.

Los pares de funciones que exhiben este comportamiento se llaman funciones inversas. Antes de definir formalmente las funciones inversas y la notación que vamos a usar para ellas, necesitamos aclarar una definición.

Una función se llama uno a uno (o inyectiva) si no hay dos valores de \(x\) que produzcan el mismo \(y\). Matemáticamente, esto es lo mismo que decir:

\[f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{siempre \ que}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,{x_1} \ne {x_2}\]

Por lo tanto, una función es uno a uno si siempre que introducimos valores diferentes en la función, obtenemos valores de función diferentes.

A veces es más fácil entender esta definición si vemos una función que no es uno a uno. Echemos un vistazo a una función que no es uno a uno. La función \(f\left( x \right) = {x^2}\) no es uno a uno porque tanto \(f\left( { - 2} \right) = 4\) como \(f\left( 2 \right) = 4\). En otras palabras, hay dos valores diferentes de \(x\) que producen el mismo valor de \(y\). Nótese que podemos convertir \(f\left( x \right) = {x^2}\) en una función uno a uno si nos restringimos a \(0 \le x < \infty \). Esto a veces se puede hacer con las funciones.

Demostrar que una función es uno a uno suele ser tedioso y/o difícil. En su mayor parte, vamos a suponer que las funciones con las que vamos a tratar en este curso son uno a uno o hemos restringido el dominio de la función para que sea una función uno a uno.

Ahora, definamos formalmente qué son las funciones inversas. Dadas dos funciones uno a uno \(f\left( x \right)\) y \(g\left( x \right)\), si

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{Y}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

entonces decimos que \(f\left( x \right)\) y \(g\left( x \right)\) son inversas la una de la otra. Más específicamente, diremos que \(g\left( x \right)\) es la inversa de \(f\left( x \right)\) y la denotaremos por

\[g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)\]

Del mismo modo, también podríamos decir que \(f\left( x \right)\) es la inversa de \(g\left( x \right)\) y denotarla por

\[f\left( x \right) = {g^{ - 1}}\left( x \right)\]

La notación que usamos realmente depende del problema. En la mayoría de los casos, cualquiera de las dos es aceptable.

Para las dos funciones con las que empezamos esta sección, podríamos escribir cualquiera de los dos siguientes conjuntos de notación.

\[\begin{align*}f\left( x \right) & = 3x - 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} & {f^{ - 1}}\left( x \right) & = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\\ & & & \\ g\left( x \right) & = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}& {g^{ - 1}}\left( x \right) & = 3x - 2\end{align*}\]

Ahora, ten cuidado con la notación para las inversas. ¡El "-1" NO es un exponente, a pesar de que ciertamente lo parece! Cuando tratamos con funciones inversas, debemos recordar que

\[{f^{ - 1}}\left( x \right) \ne \frac{1}{{f\left( x \right)}}\]

Este es uno de los errores más comunes que cometen los estudiantes cuando estudian por primera vez las funciones inversas.

Cómo Encontrar la Inversa de una Función

El proceso para encontrar la inversa de una función es bastante simple, aunque hay un par de pasos que en ocasiones pueden ser algo complicados. Aquí está el proceso:

1. Primero, reemplaza \(f\left( x \right)\) por \(y\). Esto se hace para facilitar el resto del proceso.
2. Reemplaza cada \(x\) por una \(y\) y cada \(y\) por una \(x\).
3. Despeja \(y\) de la ecuación del Paso 2. Este es el paso donde los errores se cometen con más frecuencia, así que ten cuidado.
4. Reemplaza \(y\) por \({f^{ - 1}}\left( x \right)\). En otras palabras, ¡hemos logrado encontrar la inversa en este punto!
5. Verifica tu trabajo comprobando que \[\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x\] y \[\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x\] sean ambas verdaderas. Este trabajo a veces puede ser engorroso, lo que facilita cometer errores, así que de nuevo, ten cuidado.

Ese es el proceso. La mayoría de los pasos no son tan difíciles, pero como se mencionó en el proceso, hay un par de pasos con los que realmente debemos tener cuidado, ya que es fácil cometer errores en ellos.

En el paso de verificación, técnicamente necesitamos comprobar que tanto \(\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x\) como \(\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x\) son verdaderas. Para todas las funciones que vamos a ver en este curso, si una es verdadera, la otra también lo será. Sin embargo, hay funciones (que están más allá del alcance de este curso) para las cuales es posible que solo una de estas sea verdadera. Se menciona esto porque en todos los problemas aquí solo comprobaremos una de ellas. Solo debemos recordar siempre que, técnicamente, deberíamos comprobar ambas.

Veamos algunos ejemplos.

Solución

Ya sabemos cuál es la inversa de esta función, ya que hemos trabajado con ella. Sin embargo, sería bueno empezar con esto, ya que sabemos lo que deberíamos obtener. Esto funcionará como una buena verificación del proceso.

Empecemos. Primero, reemplazaremos \(f\left( x \right)\) por \(y\).

\[y = 3x - 2\]

A continuación, reemplaza todas las \(x\) por \(y\) y todas las \(y\) por \(x\).

\[x = 3y - 2\]

Ahora, despeja para \(y\).

\[\begin{align*}x + 2 & = 3y\\ \frac{1}{3}\left( {x + 2} \right) & = y\\ \frac{x}{3} + \frac{2}{3} & = y\end{align*}\]

Finalmente, reemplaza \(y\) por \({f^{ - 1}}\left( x \right)\).

\[{f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\]

Ahora, necesitamos verificar los resultados. Ya nos encargamos de esto en la sección anterior; sin embargo, realmente deberíamos seguir el proceso, así que lo haremos aquí. No importa cuál de las dos comprobemos, solo necesitamos comprobar una. Esta vez comprobaremos que \(\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x\) es verdadera.

\[\begin{align*}\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = f\left[ {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right]\\ & = 3\left( {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right) - 2\\ & = x + 2 - 2\\ & = x\end{align*}\]

Solución

El hecho de que estemos usando \(g\left( x \right)\) en lugar de \(f\left( x \right)\) no cambia cómo funciona el proceso. Aquí están los primeros pasos.

\[y = \sqrt {x - 3} \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt {y - 3} \]

Ahora, para despejar \(y\), primero necesitaremos elevar al cuadrado ambos lados y luego proceder como de costumbre.

\[\begin{align*}x & = \sqrt {y - 3} \\ {x^2} & = y - 3\\ {x^2} + 3 & = y\end{align*}\]

La inversa es entonces,

\[{g^{ - 1}}\left( x \right) = {x^2} + 3\]

Finalmente, verifiquemos, y esta vez usaremos la otra composición solo para poder decir que hemos hecho ambas en algún ejemplo.

\[\begin{align*}\left( {{g^{ - 1}} \circ g} \right)\left( x \right) & = {g^{ - 1}}\left[ {g\left( x \right)} \right]\\ & = {g^{ - 1}}\left( {\sqrt {x - 3} } \right)\\ & = {\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^2} + 3\\ & = x - 3 + 3\\ & = x\end{align*}\]

Así que, hicimos el trabajo correctamente y, de hecho, tenemos la inversa.

El siguiente ejemplo puede ser un poco más complicado, así que ten cuidado con el trabajo aquí.

Solución

Los primeros pasos son prácticamente los mismos que en los ejemplos anteriores, así que aquí están,

\[y = \frac{{x + 4}}{{2x - 5}}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{{y + 4}}{{2y - 5}}\]

Ahora, ten cuidado con el paso de la solución. Con este tipo de problema es muy fácil cometer un error aquí.

\[\begin{align*}x\left( {2y - 5} \right) & = y + 4\\ 2xy - 5x & = y + 4\\ 2xy - y & = 4 + 5x\\ \left( {2x - 1} \right)y & = 4 + 5x\\ y & = \frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}\end{align*}\]

Entonces, si hemos hecho todo nuestro trabajo correctamente, la inversa debería ser,

\[{h^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}\]

Finalmente, tendremos que hacer la verificación. Este también es un proceso bastante engorroso y realmente no importa con cuál trabajemos.

\[\begin{align*}\left( {h \circ {h^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = h\left[ {{h^{ - 1}}\left( x \right)} \right]\\ & = h\left[ {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right]\\ & = \frac{{\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4}}{{2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5}}\end{align*}\]

Bien, esto es un lío. Simplifiquemos un poco las cosas multiplicando el numerador y el denominador por \(2x - 1\).

\[\begin{align*}\left( {h \circ {h^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = \frac{{2x - 1}}{{2x - 1}}\,\,\frac{{\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4}}{{2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5}}\\ & = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5} \right)}}\\ & = \frac{{4 + 5x + 4\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {4 + 5x} \right) - 5\left( {2x - 1} \right)}}\\ & = \frac{{4 + 5x + 8x - 4}}{{8 + 10x - 10x + 5}}\\ & = \frac{{13x}}{{13}} = x\end{align*}\]

Vaya. Fue mucho trabajo, pero al final todo salió bien. Hicimos nuestro trabajo correctamente y, de hecho, tenemos la inversa.

Gráfica de una Función y su Inversa

Hay un último tema que debemos abordar rápidamente antes de dejar esta sección. Existe una relación interesante entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.

Aquí está la gráfica de la función y su inversa de los dos primeros ejemplos.

En ambos casos podemos ver que la gráfica de la inversa es un reflejo de la función real sobre la línea \(y = x\). Este siempre será el caso con las gráficas de una función y su inversa.