Ley de la gravitación universal - Ejercicios resueltos

Hey! What's up?? hoy hablaremos de algo muy interesante, algo que solo una mente prodigiosa pudiera aportar a la ciencia y física gran valor, vamos hablar de uno de los genios más grandes de la historia que ha tenido este mundo, y nos referimos a  Sir Isaac Newton y en especial a su contribución sobre la atracción entre los cuerpos debidos a  la gravitación universal. Aunque claro, antes de hablar de Newton, debemos hacer un pequeño homenaje al gran Johannes Kepler que con su contribución en las leyes que llevan su nombre: "Leyes de Kepler" permitió dar un gran avance al estudio de los cuerpos celestes y sus movimientos orbitales. 😎

Sin embargo tuvo que llegar Isaac Newton, para darle un sentido más matemático a los descubrimientos de Kepler, este genio que sin duda es conocido como el padre de la mecánica clásica y es una de las personas más respetables en el campo de la física, sin duda por sus contribuciones, la forma de ver el mundo, entenderlo y darle una explicación amplia y muy bien formulada.

Newton y la manzana

La mayoría de las personas ha escuchado u oído de la historia de cómo Newton descubrió la ley de gravitación, donde se dice que una manzana cayó de un árbol y probablemente le golpeó la cabeza, ahora todos nos cuestionamos ¿realmente ese suceso fue verdad? resulta que William Stuckey, un amigo de Newton, redactó que en una tarde calurosa, mientras tomaban un té en un jardín de la casa de su amigo, bajo la sombra de un árbol de manzana, Newton dijo que la situación le recordaba las circunstancias en que se le había ocurrido la noción o idea de gravitación. Pero que nunca, le cayó la manzana en la cabeza.

Fórmula de Ley de la gravitación universal 

Newton dijo, la fuerza de atracción que experimentan dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$

Dónde:

$\displaystyle {{m}_{1}},{{m}_{2}}$ = masa de los cuerpos [kg]

$\displaystyle d$ = distancia [m]

$\displaystyle F$ = Fuerza [N]

$\displaystyle G=6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}$ = Constante de Gravitación Universal.

Veamos ahora el siguiente ejemplo:

Ejercicios Resueltos de la Gravitación Universal

Solución: La situación del problema es muy sencilla de resolver, ya que basta en tomar los datos y reemplazar en la fórmula, como podemos ver las masas se encuentran en kilogramos, y la distancia en metros, por lo que no habría necesidad de convertir a otras unidades, ahora veamos el uso de la fórmula.

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$

Reemplazando datos

$\displaystyle F=[6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}]\frac{(800kg)(500kg)}{{{(3m)}^{2}}}$

$\displaystyle F=[6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}]\frac{400,000k{{g}^{2}}}{9{{m}^{2}}}$

$\displaystyle F=[6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}]\cdot 44,444.4\frac{k{{g}^{2}}}{{{m}^{2}}}$

Por lo que:

$\displaystyle F=2.964x{{10}^{-6}}N$

Qué sería la fuerza de atracción entre las masas,

Ahora veamos un ejemplo, tipo algebraico para ver como se relacionan los problemas de la ley de la gravitación universal.

Solución: A diferencia del problema anterior, tenemos que encontrar la distancia que separan a las dos masas, por lo que debemos de saber que necesitamos realizar un despeje, ¿no sabes despejar?, puedes visitar nuestro artículo de ¿Cómo despejar fórmulas? bien, al despejar a "d" de nuestra fórmula de la ley de gravitación universal, tenemos:

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$

El despeje queda así:

$\displaystyle {{d}^{2}}=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{F}$

$\displaystyle d=\sqrt{G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{F}}$

Ahora es momento de sustituir nuestros datos en la fórmula:

$\displaystyle d=\sqrt{\left( 6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}} \right)\frac{\left( 6x{{10}^{-2}}kg \right)\left( 7x{{10}^{-3}}kg \right)}{9x{{10}^{9}}N}}$

Realizando la multiplicación de las masas y la división entre la fuerza.

$\displaystyle d=\sqrt{\frac{2.8x{{10}^{-14}}N{{m}^{2}}}{9x{{10}^{-9}}N}}$

Bien, ahora realicemos lo que está dentro de la raíz cuadrada.

$\displaystyle d=\sqrt{3.11x{{10}^{-6}}{{m}^{2}}}$

Por lo que la distancia es:

$\displaystyle d=1.76x{{10}^{-3}}m$

Qué sería la distancia que existe entre ambas masas, ¿fácil no?, veamos otro ejemplo un poco más de razonar.

Solución: En este problema no hay un valor numérico, pero se puede expresar de manera algebraica hasta entender a grandes conceptos que nos quiere dar a entender, colocamos nuestra fórmula.

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$

Ahora coloquemos los datos, aunque si observamos nos daremos cuenta que lo único que cambiará será la distancia, puesto que el problema dice que se incrementa al doble, es decir  "2d".

Por lo que, quedaría en nuestra fórmula.

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{(2d)}^{2}}}$

Resolviendo

$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{4{{d}^{2}}}=\frac{1}{4}G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$

Si te das cuenta he apartado 1/4 detrás de la constante de gravitación universal, esto es para que nos quede nuevamente la fórmula inicial, y así reemplacemos por la Fuerza "F".

quedando así.

$\displaystyle F=\frac{1}{4}F'$

Le que colocado así para evitar confusiones, y como te podrás dar cuenta.

Cuando la distancia aumenta al doble, la fuerza de atracción disminuye en 1/4 de fuerza,

¿Genial, no?

Bien, ahora es momento de practicar, de que empieces a demostrar que has aprendido de los problemas.

Ejercicios Para Practicar

Recuerda que para aprender mejor los temas de ciencia, siempre es importante practicar, para ello tenemos algunos ejemplos que servirán para aclarar tus dudas ?

Ver Solución

Ver Solución

Ver Solución

Examen de Gravitación Universal

Ahora es momento de prácticar tanto la teoría cómo la práctica. ¿Estás listo/a?

⭐ Conclusión

Este tema es un tema muy importante dentro de la Física, pues nos ayuda a comprender la fuerza de atracción que existen entre dos cuerpos, y no solo eso, sino que también nos permite comprender que ocurre con los planetas que poseen más masa, y ver como esto tiene relación con las leyes de Kepler, ambas leyes han contribuido demasiado para el desarrollo de nuevas áreas de estudio, y desarrollos tecnológicos más sorprendentes, si tienes más dudas sobre éste tema, te recomendamos dejar un comentario 😎