Suma de Vectores - Método del Polígono [Ejercicios Resueltos]

Como vimos en el tema anterior de Vectores, en la suma de vectores por el método analítico entre dos vectores. También puede darse el caso que en la suma no solamente existan dos vectores, sino más vectores concurrentes o angulares y necesitemos calcular el vector resultante, así como su ángulo. Para ello se lleva a cabo el siguiente método.

Método del Polígono

El Método del Polígono lo podemos encontrar de dos formas, por medio del método gráfico o por medio del método analítico, en nuestro sitio web solamente hablaremos del método analítico, ya que para el método gráfico es necesario tener una regla, un transportador y una escala para determinar la resultante y el ángulo, pero en este caso solamente nos interesan los cálculo.

De forma Gráfica

Cuando se trata de un problema de suma de vectores por el método gráfico, los vectores se tienen que colocar paralelamente a si mismos a los vectores que se irán sumando, del tal forma que uno de los vectores será la base, y los demás se irán colocando uno detrás de otro hasta llegar al último vector.

[alert-note]La resultante será el vector que una el origen de los vectores con la punta del último vector, y su sentido estará orientado hacia el extremo del último vector [/alert-note]

Veamos un ejemplo de manera gráfica, asumiendo que tenemos 4 vectores:

Para sumar los 4 vectores, los podemos colocar de la manera que querramos, no necesariamente seguir (1, 2, 3 y 4), puede ser que primero tomemos al vector 4 como primero, y así sucesivamente.

Sin embargo, para poder obtener un resultado más exacto, es necesario tener qué usar el método analítico.

El método analítico

Para realizar el método analítico necesitamos realizar los siguientes pasos:

1.- Descomponer en componentes rectangulares cada vector

2.- Una vez descomponiendo cada vector, es importante hacer la suma de componentes en "x" y "y" para cada vector, de tal forma que los vectores se reduzcan a un valor resultante en "x" y un valor resultante en "y" con esto lograremos obtener el valor de la resultante final.

3.- Utilizar el teorema de pitágoras para encontrar la magnitud resultante de los dos vectores perpendiculares.

4.- Utilizar la función tangente para calcular el ángulo de la resultante respecto a la horizontal.

Ejercicios Resueltos de Método Analítico (Polígono)

Imaginando que deseamos resolver el ejercicio anterior, tendríamos que analizar los 4 vectores, de esta forma:

Analizando el Vector F1

El vector F1 es un vector horizontal, que no posee ninguna componente en el eje "y", solamente en el eje "x" con esto podemos tener el primer valor para "x" una magnitud de 8N.

$\displaystyle {{F}_{1x}}=8N$

Analizando el Vector F2

El vector F2 tiene una magnitud de 6 N, y 40°, es decir; que posee componentes tanto en "x" como en "y", entonces lo descomponemos mediante las funciones trigonométricas correspondientes:

$\displaystyle {{F}_{2}}_{x}={{F}_{2}}\cos (40{}^\circ )=6\cos (40{}^\circ )=4.596N$

$\displaystyle {{F}_{2}}_{y}={{F}_{2}}sen(40{}^\circ )=6sen(40{}^\circ )=3.856N$

Analizando el Vector F3

Lo que podemos observar de este vector, es que está en el cuarto cuadrante y con 30° respecto a la horizontal, por lo que sus componentes serán negativos tanto para "x" como para "y"

$\displaystyle {{F}_{3}}_{x}={{F}_{3}}cos(30{}^\circ )=3\cos (30{}^\circ )=2.598N$

$\displaystyle {{F}_{3y}}={{F}_{3}}sen(30{}^\circ )=3sen(30{}^\circ )=1.5N$

Lo único que haremos será cambiar de signo a los valores de las componentes

$\displaystyle {{F}_{3}}_{x}=-2.598N$

$\displaystyle {{F}_{3y}}=-1.5N$

Analizando el Vector F4

Este vector es un vector vertical, por lo que solamente tiene componentes en el eje "y", es decir una magnitud de 5N

$\displaystyle {{F}_{4y}}=5N$

Calculando la sumatoria de fuerzas en el eje "x"

$\displaystyle {{R}_{x}}=\sum{{{F}_{x}}}={{F}_{1x}}+{{F}_{2x}}-{{F}_{3x}}$

$\displaystyle {{R}_{x}}=8N+4.596N-2.598N=9.998N$

Calculando la sumatoria de fuerzas en el eje "y"

$\displaystyle {{R}_{y}}=\sum{{{F}_{y}}}={{F}_{2y}}-{{F}_{3y}}+{{F}_{4y}}$

$\displaystyle {{R}_{y}}=3.856N-1.5N+5N=7.356N$

Obteniendo la resultante

Aplicando el teorema de pitágoras

$\displaystyle R=\sqrt{{{R}_{x}}^{2}+{{R}_{y}}^{2}}$

$\displaystyle R=\sqrt{{{\left( 9.998N \right)}^{2}}+{{\left( 7.356N \right)}^{2}}}$

$\displaystyle R=\sqrt{154.07{{N}^{2}}}$

Por lo que

$\displaystyle R=12.41N$

Qué sería nuestra magnitud.

Obteniendo el ángulo de la resultante:

Aplicamos la tangente (cateto opuesto/cateto adyacente) para obtener el ángulo.

$\displaystyle \tan \alpha =\frac{{{R}_{y}}}{{{R}_{x}}}=\frac{7.356N}{9.998N}=0.736$

aplicamos el arcotangente

$\displaystyle \alpha ={{\tan }^{-1}}(0.736)=36.35{}^\circ $

Por lo que tendríamos un ángulo de 36.35° de la resultante respecto a la horizontal.