Distancia entre Dos Puntos - Ejercicios Resueltos

Dentro de la Geometría Analítica, pocos conceptos son tan fundamentales como saber medir el espacio. Comprender la distancia entre dos puntos no es solo un requisito para aprobar el examen; es la base para entender vectores, física cinemática y hasta cómo funciona el GPS de tu celular.

En este artículo vamos a dominar este tema desde cero: analizaremos la fórmula, deduciremos su origen geométrico y resolveremos ejercicios que van desde lo básico hasta problemas tipo examen.

Fórmula de la Distancia entre dos Puntos

Para ir directo al grano, si buscas la herramienta matemática para calcular la longitud del segmento que une a dos puntos \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\) en el plano cartesiano, esta es la definición formal:

Antes de pasar a los ejercicios complejos, es vital entender que existen tres casos posibles al medir distancias. Analicémoslos uno por uno.

Caso 1: Distancia Horizontal

Imaginemos que tenemos dos pares ordenados \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\) que forman una recta paralela al eje "x".

Como puedes ver en la imagen, la altura (y) no cambia. Para calcular la distancia, simplemente restamos las abscisas (x).
\[ d = |x_2 - x_1| \]
Nota: Usamos valor absoluto porque una distancia física nunca puede ser negativa.

Caso 2: Distancia Vertical

De forma similar, si los puntos comparten la misma coordenada x (están uno encima del otro), la distancia es la diferencia absoluta de sus ordenadas.

Aquí la fórmula se simplifica a:
\[ d = |y_2 - y_1| \]

Caso 3: Distancia General (Diagonal)

Aquí es donde la magia ocurre. Cuando los puntos no están alineados ni vertical ni horizontalmente, forman una diagonal.

Si observas el gráfico de arriba con atención, verás que se forma un Triángulo Rectángulo:
1. La base del triángulo es la diferencia de las x: \(x_2 - x_1\)
2. La altura del triángulo es la diferencia de las y: \(y_2 - y_1\)
3. La distancia \(d\) es la Hipotenusa.

Por lo tanto, aplicando el Teorema de Pitágoras (\(c^2 = a^2 + b^2\)), llegamos a nuestra fórmula maestra:
\[ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \]
Despejando el cuadrado como raíz, obtenemos la fórmula que todos conocemos.

Ejercicios Resueltos de Distancia entre Dos Puntos

Vamos a poner en práctica la teoría con los gráficos correspondientes para que visualices el problema.

Solución:

Observando las coordenadas, vemos que \(y\) no cambia (es 3 en ambos). Es una recta horizontal.

\[ d = |x_2 - x_1| = |4 - (-5)| = |4 + 5| = 9 \]

Resultado: La distancia es de 9 unidades.

Solución:

Aquí las coordenadas son distintas. Elegimos \(P_1\) como inicial y \(P_2\) como final y sustituimos en la fórmula:

\[ d = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (2 - 3)^2} \]
\[ d = \sqrt{(3 + 4)^2 + (-1)^2} \]
\[ d = \sqrt{(7)^2 + 1} \]
\[ d = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \]

Simplificando o calculando:

\[ d \approx 7.071 \text{ unidades} \]

Solución:

Ten mucho cuidado con los signos negativos al sustituir en la fórmula. Recuerda que \(-(-a) = +a\).

\[ d = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2} \]
\[ d = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-6)^2} \]
\[ d = \sqrt{(5)^2 + 36} \]
\[ d = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \]
\[ d \approx 7.810 \text{ unidades} \]

Solución:

Datos: \(d = 17\), \(P_1(1, -11)\), \(P_2(x_2, 4)\). Nuestra incógnita es \(x_2\).

Sustituimos en la fórmula elevando al cuadrado para eliminar la raíz:

\[ 17^2 = (x_2 - 1)^2 + (4 - (-11))^2 \]
\[ 289 = (x_2 - 1)^2 + (15)^2 \]
\[ 289 = (x_2 - 1)^2 + 225 \]

Despejamos el término con la x:

\[ 289 - 225 = (x_2 - 1)^2 \]
\[ 64 = (x_2 - 1)^2 \]

Sacamos raíz cuadrada a ambos lados (considerando el signo más/menos):

\[ \pm\sqrt{64} = x_2 - 1 \]
\[ \pm 8 = x_2 - 1 \]

Esto nos da dos posibles soluciones, tal como se ve en la gráfica siguiente:

• Caso 1: \(8 = x_2 - 1 \Rightarrow x_2 = 9\)
• Caso 2: \(-8 = x_2 - 1 \Rightarrow x_2 = -7\)

Resultado: Existen dos puntos que cumplen la condición: \(P_B(9, 4)\) y \(P_C(-7, 4)\).

Solución:

Este ejercicio es ideal para practicar la ley de los signos. Identificamos nuestros datos:

• \(x_1 = -3, \quad y_1 = 5\)
• \(x_2 = 3, \quad y_2 = -3\)

Sustituimos en la fórmula general:

\[ d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} \]

Ten cuidado aquí: menos por menos da más (\(-\) por \(-\) es \(+\)):

\[ d = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-8)^2} \]
\[ d = \sqrt{(6)^2 + 64} \]
\[ d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} \]

Resultado: La distancia es de 10 unidades.

Solución:

Para hallar el perímetro, necesitamos sumar la longitud de los tres lados. Calcularemos la distancia entre cada par de puntos.

1. Distancia lado AB (Horizontal):

\[ d_{AB} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2} = 6 \]

2. Distancia lado AC:

\[ d_{AC} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

3. Distancia lado BC:

\[ d_{BC} = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

Finalmente, sumamos las distancias:

\[ P = 6 + 5 + 5 = 16 \]

Resultado: El perímetro del triángulo es de 16 unidades. (Como dato extra: al tener dos lados iguales, es un triángulo isósceles).

Solución:

Recordemos que el "Origen" tiene coordenadas \((0,0)\). Esto simplifica mucho nuestra fórmula, ya que \(x_1\) y \(y_1\) se vuelven cero.

\[ d = \sqrt{(x_2 - 0)^2 + (y_2 - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Sustituimos las coordenadas del punto P:

\[ d = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \]
\[ d = \sqrt{25 + 144} \]
\[ d = \sqrt{169} \]

Resultado: La distancia es de 13 unidades.

Solución:

Para que tres puntos sean colineales, la suma de las distancias de los segmentos más cortos debe ser igual a la distancia del segmento total más largo. Es decir: \(d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)\).

Calculamos \(d(A,B)\):

\[ d_{AB} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.828 \]

Calculamos \(d(B,C)\):

\[ d_{BC} = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414 \]

Calculamos la total \(d(A,C)\):

\[ d_{AC} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4.242 \]

Comprobamos la suma:

\[ 2.828 + 1.414 = 4.242 \]

Resultado: Como la suma coincide, confirmamos que los puntos SÍ son colineales.

Solución:

El radio de un círculo es, por definición, la distancia desde el centro hasta cualquier punto del borde. Por lo tanto, solo debemos calcular la distancia entre C y P.

\[ r = d(C,P) = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (7 - 3)^2} \]
\[ r = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \]
\[ r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \]

Resultado: El radio del círculo es de 5 unidades.

Solución:

Este es un problema inverso. Conocemos la distancia (\(d=5\)) pero desconocemos una coordenada.

\[ 5 = \sqrt{(5 - 2)^2 + (y - 3)^2} \]

Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz:

\[ 25 = (3)^2 + (y - 3)^2 \]
\[ 25 = 9 + (y - 3)^2 \]

Pasamos el 9 restando:

\[ 25 - 9 = (y - 3)^2 \]
\[ 16 = (y - 3)^2 \]

Sacamos raíz cuadrada (considerando \(\pm\)):

\[ \pm 4 = y - 3 \]

Esto genera dos soluciones:

• \(y_1 = 4 + 3 = 7\)
• \(y_2 = -4 + 3 = -1\)

Resultado: La ordenada puede ser 7 o -1.

Solución:

Calculamos la longitud de sus tres lados:

1. \(d(A,B) = |5 - 1| = 4\) (Es horizontal).

2. \(d(A,C) = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

3. \(d(B,C) = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

Resultado: Dado que tiene dos lados iguales (\(\sqrt{13}\)) y uno diferente (\(4\)), es un triángulo isósceles.

Solución:

El desplazamiento es la distancia en línea recta entre el punto de inicio y el final.

\[ d = \sqrt{(40 - 10)^2 + (60 - 20)^2} \]
\[ d = \sqrt{(30)^2 + (40)^2} \]
\[ d = \sqrt{900 + 1600} \]
\[ d = \sqrt{2500} \]

Resultado: La magnitud del desplazamiento es de 50 metros.

Banco de Práctica: +20 Ejercicios de Distancia entre dos Puntos

¿Listo para ponerte a prueba? Hemos seleccionado ejercicios clave para que practiques. Intenta resolverlos antes de ver la solución.

Descarga la Guía Completa en PDF (Más ejercicios)

La IA puede darte una respuesta rápida, pero no puede estudiar por ti. He preparado un Cuadernillo de Trabajo en PDF que incluye:

• Resumen de fórmulas.
• Los ejemplos de este post.
• Banco de 20 ejercicios propuestos con sus respuestas para imprimir y rayar.