Ecuación de la Elipse con Centro fuera del Origen

Si ya has dominado la elipse con centro en el origen, ¡felicidades! Has dado el primer paso. Pero en el mundo real y en los exámenes más complejos de geometría analítica, las figuras rara vez se quedan quietas en el centro del plano cartesiano (0,0). A veces, necesitan moverse.

Hoy vamos a subir de nivel. Aprenderemos a dominar la Ecuación de la Elipse con Centro fuera del Origen, representada por las coordenadas \(C(h,k)\). Aunque las fórmulas parezcan más largas, la lógica sigue siendo exactamente la misma. ¿Estás listo para convertirte en un experto? ¡Vamos allá!

Para abordar este tema, es vital que recuerdes que los elementos geométricos (vértices, focos) simplemente se "desplazan" sumando las unidades \(h\) en el eje horizontal y \(k\) en el eje vertical.

Ecuación Ordinaria y Elementos de la Elipse (h,k)

A diferencia de la elipse centrada en el origen, aquí veremos cómo los valores \(h\) y \(k\) acompañan a \(x\) y \(y\) respectivamente dentro de los binomios al cuadrado. Existen dos casos fundamentales: cuando la elipse es horizontal y cuando es vertical.

1. Elipse Horizontal con centro en (h,k)

Cuando el eje focal (la línea que une los focos) es paralelo al eje X, utilizamos la siguiente ecuación estándar:

Elementos clave:
Como el movimiento principal es horizontal, las coordenadas que cambian son las de las abscisas (\(x\)), afectadas por el valor \(h\).

• Vértices (Eje Mayor): \[ V(h\pm a, k) \]
• Focos: \[ F(h\pm c, k) \]
• Extremos del Eje Menor: \[ B(h, k\pm b) \]

2. Elipse Vertical con centro en (h,k)

Cuando el eje focal es paralelo al eje Y, el valor de \(a^2\) (el mayor) estará dividiendo a las \(y\).

Elementos clave:
Aquí el movimiento principal es vertical, por lo tanto, las alteraciones se dan en las ordenadas (\(y\)), afectadas por \(k\).

• Vértices (Eje Mayor): \[ V(h, k\pm a) \]
• Focos: \[ F(h, k\pm c) \]
• Extremos del Eje Menor: \[ B(h\pm b, k) \]

Ecuación General de la Elipse

Muchas veces, los ejercicios no nos dan la ecuación "bonita" (ordinaria), sino desarrollada. Esta se conoce como la Ecuación General:

\[ Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

Para que esta ecuación represente una elipse, debe cumplirse una regla de oro: \(A \neq C\), pero ambos deben tener el mismo signo.

Ejercicios Resueltos de Elipse fuera del Origen

La mejor forma de aprender es practicando. A continuación, resolveremos 7 ejemplos paso a paso que cubren desde lo más básico hasta casos especiales con excentricidad y lado recto.

Solución:

Este es el procedimiento estándar que debes dominar. Usaremos la técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP).

Paso 1: Agrupar términos.
Agrupamos las \(x\) con las \(x\), las \(y\) con las \(y\), y pasamos el término independiente (la constante) al lado derecho de la igualdad.
\[ (4x^2 - 16x) + (9y^2 + 18y) = 11 \]

Paso 2: Factorizar los coeficientes principales.
Necesitamos que \(x^2\) y \(y^2\) estén "solas" dentro del paréntesis para poder completar el cuadrado. Factorizamos el 4 en el primer grupo y el 9 en el segundo.
\[ 4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11 \]

Paso 3: Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.
Aquí viene el truco. Tomamos el segundo término de cada paréntesis, lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado.

• Para las \(x\): \((-4/2)^2 = (-2)^2 = 4\)
• Para las \(y\): \((2/2)^2 = (1)^2 = 1\)

Ahora agregamos estos números dentro de los paréntesis.

\[ 4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) = 11 + 16 + 9 \]

Si te fijas, sumamos 16 (que es \(4 \times 4\)) y sumamos 9 (que es \(9 \times 1\)).

Paso 4: Factorizar a binomios al cuadrado.
Simplificamos la ecuación:
\[ 4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36 \]

Paso 5: Igualar a 1.
Para llegar a la forma ordinaria, dividimos toda la ecuación entre 36.
\[ \frac{4(x - 2)^2}{36} + \frac{9(y + 1)^2}{36} = \frac{36}{36} \]
Simplificando fracciones (\(4/36 = 1/9\) y \(9/36 = 1/4\)):
\[ \frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1 \]

Análisis de Resultados:
Ahora tenemos la ecuación ordinaria. Podemos extraer la información:

• Orientación: Como el denominador mayor (9) está bajo la \(x\), es una Elipse Horizontal.
• Valores de a y b:
  \[ a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \]
  \[ b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \]
• Centro (h,k):
  De \((x-2)\) obtenemos \(h=2\).
  De \((y+1)\) obtenemos \(k=-1\). (Recuerda cambiar el signo).
  Centro: \( C(2, -1) \)

Calculamos \(c\) (distancia focal) usando \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \):
\[ c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \approx 2.23 \]

Cálculo de Elementos:
1️⃣ Vértices \(V(h\pm a, k)\):
\(V_1(2+3, -1) \to V_1(5, -1)\)
\(V_2(2-3, -1) \to V_2(-1, -1)\)

2️⃣ Focos \(F(h\pm c, k)\):
\(F_1(2+2.23, -1) \to F_1(4.23, -1)\)
\(F_2(2-2.23, -1) \to F_2(-0.23, -1)\)

3️⃣ Lado Recto:
\[ LR = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.66 \]

Gráfica:

Solución:

Este problema requiere análisis visual. No te lances a las fórmulas sin pensar qué tipo de elipse es.

Paso 1: Identificar la orientación.
Observa las coordenadas:
Centro: \((-2, 3)\)
Vértice: \((3, 3)\)
Foco: \((1, 3)\)

¿Qué coordenada se mantiene constante? ¡La \(y\) siempre vale 3! Si los puntos cambian solo en \(x\), la elipse se extiende horizontalmente.
\(\Rightarrow\) Es una Elipse Horizontal.

Paso 2: Calcular \(a\) y \(c\).
La distancia del Centro al Vértice es \(a\):
\[ a = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5 \]
La distancia del Centro al Foco es \(c\):
\[ c = |1 - (-2)| = |1 + 2| = 3 \]

Paso 3: Calcular \(b\).
Usamos la relación fundamental de la elipse \(a^2 = b^2 + c^2\), despejando \(b\):
\[ b = \sqrt{a^2 - c^2} \]
\[ b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

Paso 4: Sustituir en la fórmula.
Usamos la ecuación horizontal con \(C(-2, 3)\):
\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \]
\[ \frac{(x - (-2))^2}{5^2} + \frac{(y - 3)^2}{4^2} = 1 \]
\[ \frac{(x + 2)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{16} = 1 \]

¡Y listo! Esa es nuestra ecuación.

Más Casos de Estudio: Dominando la Elipse 🚀

A veces los problemas no nos dan la ecuación directamente, sino pistas como la excentricidad, el lado recto o las coordenadas de los focos. Vamos a ver cómo armar el rompecabezas en estos casos especiales.

Solución:

Paso 1: Análisis de Coordenadas.
Observa que la coordenada \(y\) es constante (siempre es 4). Esto significa que la elipse está acostada sobre la línea \(y=4\).
\(\Rightarrow\) Elipse Horizontal.

Paso 2: Encontrar el Centro (h,k).
El centro es el punto medio entre los dos vértices.
\[ h = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ k = 4 \]
Centro: \( C(2, 4) \)

Paso 3: Calcular a, c y b.

• Valor de a: Distancia del Centro al Vértice. De \(x=2\) a \(x=6\), hay 4 unidades. \( \Rightarrow a = 4 \).
• Valor de c: Distancia del Centro al Foco. De \(x=2\) a \(x=5\), hay 3 unidades. \( \Rightarrow c = 3 \).
• Valor de b: Despejamos de Pitágoras (\(a^2 = b^2 + c^2\)):
  \[ b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 9 = 7 \]
  \( \Rightarrow b = \sqrt{7} \)

Paso 4: Ecuación Ordinaria.
\[ \frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{7} = 1 \]

Paso 5: Transformar a General.
Para eliminar fracciones, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (\(16 \times 7 = 112\)).
\[ 7(x-2)^2 + 16(y-4)^2 = 112 \]
Desarrollamos los binomios:
\[ 7(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 - 8y + 16) = 112 \]
Multiplicamos:
\[ 7x^2 - 28x + 28 + 16y^2 - 128y + 256 = 112 \]
Ordenamos e igualamos a cero:
\[ 7x^2 + 16y^2 - 28x - 128y + (28 + 256 - 112) = 0 \]

Resultado Final:
\[ 7x^2 + 16y^2 - 28x - 128y + 172 = 0 \]

Solución:

Paso 1: Orientación y Centro.
Los focos cambian en \(y\), por lo tanto es una Elipse Vertical.
El centro es el punto medio de los focos:
\[ C\left( \frac{2+2}{2}, \frac{5-3}{2} \right) \to C(2, 1) \]

Paso 2: Obtener c y a.
La distancia entre los focos es \(2c\). De 5 a -3 hay 8 unidades.
\[ 2c = 8 \Rightarrow c = 4 \]

Usamos la fórmula de excentricidad \( e = \frac{c}{a} \):
\[ 0.8 = \frac{4}{a} \]
Despejamos \(a\):
\[ a = \frac{4}{0.8} = 5 \]

Paso 3: Obtener b.
\[ b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9 \]
\[ b = 3 \]

Paso 4: Sustituir en la fórmula Vertical.
Recordamos que \(a^2\) va debajo de \(y\):
\[ \frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{25} = 1 \]

Solución:

Este problema es interesante porque mezcla coordenadas con propiedades geométricas. Vamos a desglosarlo.

Paso 1: Determinar la orientación y el Centro.
Observa las coordenadas de los vértices: \( (10, \mathbf{2}) \) y \( (-2, \mathbf{2}) \).
La coordenada \(y\) no cambia. Esto nos indica que la elipse se extiende horizontalmente sobre la línea \(y=2\).
\(\Rightarrow\) Es una Elipse Horizontal.

El centro es siempre el punto medio entre los vértices:
\[ h = \frac{10 + (-2)}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ k = 2 \]
Centro: \( C(4, 2) \)

Paso 2: Calcular el valor de \(a\).
La distancia del centro \( (4,2) \) a cualquiera de los vértices, por ejemplo \( (10,2) \), es el valor de \(a\).
\[ a = 10 - 4 = 6 \]

Paso 3: Usar el Lado Recto para hallar \(b\).
La fórmula del Lado Recto es \( LR = \frac{2b^2}{a} \).
El problema nos dice que \( LR = 5 \) y ya sabemos que \( a = 6 \). Sustituimos:
\[ 5 = \frac{2b^2}{6} \]
Despejamos \( b^2 \):
\[ 5(6) = 2b^2 \]
\[ 30 = 2b^2 \]
\[ b^2 = 15 \]
(No necesitamos sacar la raíz cuadrada de 15, ya que en la fórmula usamos \(b^2\) directamente).

Paso 4: Escribir la Ecuación.
Sustituimos en la estructura horizontal:
\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
\[ \frac{(x-4)^2}{36} + \frac{(y-2)^2}{15} = 1 \]

Solución:

A veces, al completar el trinomio, los números del lado derecho pueden parecer pequeños o extraños. No te asustes, sigue la metodología.

Paso 1: Agrupar términos.
\[ (x^2 - 6x) + (4y^2 + 16y) = -21 \]

Paso 2: Factorizar coeficientes.
En el primer paréntesis no hay número frente a \(x^2\), así que se queda igual. En el segundo, factorizamos el 4.
\[ (x^2 - 6x) + 4(y^2 + 4y) = -21 \]

Paso 3: Completar cuadrados.

• Para \(x\): \((-6/2)^2 = 9\). Sumamos 9.
• Para \(y\): \((4/2)^2 = 4\). Ojo aquí: al sumar 4 dentro del paréntesis, estamos sumando \(4 \times 4 = 16\) en realidad.

\[ (x^2 - 6x + 9) + 4(y^2 + 4y + 4) = -21 + 9 + 16 \]

Paso 4: Factorizar y Simplificar.
\[ (x - 3)^2 + 4(y + 2)^2 = 4 \]
Nota que el resultado de la suma derecha fue 4 (\(-21+25\)).

Paso 5: Igualar a 1.
Dividimos toda la ecuación entre 4.
\[ \frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{4(y + 2)^2}{4} = \frac{4}{4} \]
\[ \frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{1} = 1 \]

Análisis final:
Es una Elipse Horizontal (el 4 es mayor que el 1).
Centro: \( C(3, -2) \).
Semiejes: \( a = 2 \) y \( b = 1 \).

Solución:

Este ejercicio requiere mucha atención para no confundir la orientación.

Paso 1: Analizar el Eje Menor.
Los extremos son \( (3, 8) \) y \( (3, 2) \). La coordenada \(x\) no cambia, por lo que el eje menor es una línea vertical.
¡Cuidado! Si el eje menor es vertical, significa que el eje mayor (donde están los focos) es Horizontal.

Paso 2: Encontrar el Centro y \(b\).
El centro es el punto medio del eje menor:
\[ C\left( 3, \frac{8+2}{2} \right) \to C(3, 5) \]
La distancia del centro \( (3,5) \) al extremo \( (3,8) \) es el valor de \(b\).
\[ b = 3 \]
Por lo tanto, \( b^2 = 9 \).

Paso 3: Calcular \(c\) y \(a\).
Sabemos que hay un foco en \( (7, 5) \). La distancia del Centro \( (3,5) \) al Foco \( (7,5) \) es \(c\).
\[ c = 7 - 3 = 4 \]
Ahora usamos Pitágoras para hallar \(a\) (la hipotenusa):
\[ a^2 = b^2 + c^2 \]
\[ a^2 = 9 + 16 = 25 \]
(Entonces \( a = 5 \)).

Paso 4: Ecuación Ordinaria.
Al ser horizontal, \( a^2 \) va debajo de \(x\).
\[ \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y-5)^2}{9} = 1 \]

Ejercicios Propuestos para Practicar

¿Crees que ya lo tienes? Intenta resolver los siguientes problemas por tu cuenta antes de ver la solución.