Ecuación de la Hipérbola con Centro en el Origen

La Hipérbola es, sin duda, la "hermana rebelde" de las cónicas. Si ya dominas la elipse, verás que la hipérbola tiene una estructura similar, pero con una diferencia fundamental: en lugar de sumar distancias, las restamos. En este artículo vamos a dominar la Ecuación de la Hipérbola con Centro en el Origen, cubriendo sus fórmulas, gráficas y ejercicios resueltos paso a paso.

Este tema es el broche de oro de la geometría analítica. Prepárate, porque vamos a desglosar todo lo que necesitas saber para aprobar tu examen y entender las gráficas a la perfección.

¿Qué es una Hipérbola?

Antes de pasar a los números, entendamos la definición formal. A diferencia de la elipse (que es una suma constante), la hipérbola funciona con una diferencia.

Elementos de la Hipérbola con Centro en el Origen

Para resolver cualquier problema de hipérbolas, necesitas identificar a sus protagonistas. No importa si la hipérbola es horizontal o vertical, siempre tendremos estos elementos clave:

• Centro \(C(0,0)\): El punto donde se cruzan los ejes y donde "nace" nuestra figura.
• Focos \(F\): Puntos fijos dentro de las ramas de la hipérbola. La distancia del centro a un foco es \(c\).
• Vértices \(V\): Los puntos donde la hipérbola corta a su eje principal. La distancia del centro al vértice es \(a\).
• Eje Transverso (\(2a\)): Es el eje principal que une los dos vértices.
• Eje Conjugado (\(2b\)): Es el eje imaginario perpendicular al transverso.
• Asíntotas: Dos líneas rectas que la hipérbola intenta tocar pero nunca alcanza. Son vitales para graficar correctamente.

Tipos de Hipérbolas: ¿Vertical u Horizontal?

Esta es la pregunta del millón y la clave para usar la fórmula correcta. En el examen, podrás distinguirlas fácilmente mirando cuál variable es positiva en la ecuación canónica.

1. Hipérbola Horizontal

Sabemos que es horizontal cuando su eje focal coincide con el eje X. En la ecuación, identificarás esto porque el término \(x^2\) es positivo.

Ecuación Canónica:

Elementos Clave:

• Vértices: \( V(\pm a, 0) \)
• Focos: \( F(\pm c, 0) \)
• Asíntotas: \( y = \pm \frac{b}{a}x \)

2. Hipérbola Vertical

Es vertical cuando su eje focal coincide con el eje Y. Aquí, el término positivo es la \(y^2\), mientras que la \(x^2\) es negativa.

Ecuación Canónica:

Elementos Clave:

• Vértices: \( V(0, \pm a) \)
• Focos: \( F(0, \pm c) \)
• Asíntotas: \( y = \pm \frac{a}{b}x \)

Ejercicios Resueltos de Hipérbola con Centro en el Origen

La mejor forma de aprender es practicando. Vamos a resolver ejercicios de hipérbola paso a paso, cubriendo tanto casos horizontales como verticales.

Solución:

Paso 1: Transformar a la forma canónica.
Primero, movemos el término independiente al lado derecho:

\[ 9x^2 - 4y^2 = 36 \]

Ahora, dividimos toda la ecuación entre 36 para igualar a 1:

\[ \frac{9x^2}{36} - \frac{4y^2}{36} = \frac{36}{36} \]

Simplificamos las fracciones:

\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \]

Paso 2: Identificar el tipo de hipérbola.
Observa que el término \(x^2\) es positivo. Esto significa que estamos ante una Hipérbola Horizontal.

Paso 3: Obtener los parámetros \(a, b\) y \(c\).
De la ecuación \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), deducimos:

• \( a^2 = 4 \Rightarrow \mathbf{a = 2} \)
• \( b^2 = 9 \Rightarrow \mathbf{b = 3} \)

Para hallar \(c\) (distancia focal), usamos Pitágoras (\(c^2 = a^2 + b^2\)):

\[ c = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.6 \]

Paso 4: Calcular los elementos.

• Vértices \(V(\pm a, 0)\): \( V_1(2, 0) \) y \( V_2(-2, 0) \)
• Focos \(F(\pm c, 0)\): \( F_1(\sqrt{13}, 0) \) y \( F_2(-\sqrt{13}, 0) \)
• Extremos conjugados \(B(0, \pm b)\): \( B_1(0, 3) \) y \( B_2(0, -3) \)
• Lado Recto: \( LR = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{2} = \mathbf{9} \)
• Excentricidad: \( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8 \)

Paso 5: Ecuaciones de las Asíntotas.
Para una hipérbola horizontal, la pendiente es \( m = \pm \frac{b}{a} \):

\[ y = \pm \frac{3}{2}x \]

Esto nos da dos rectas: \( 3x - 2y = 0 \) y \( 3x + 2y = 0 \).

Gráfica:
Aquí podemos ver la representación gráfica con sus asíntotas:

Solución:

Paso 1: Forma canónica.
Dividimos todo entre 144:

\[ \frac{16y^2}{144} - \frac{9x^2}{144} = 1 \]
\[ \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1 \]

Paso 2: Análisis.
Como el término \(y^2\) es positivo, es una Hipérbola Vertical.

Paso 3: Parámetros.

• \( a^2 = 9 \Rightarrow \mathbf{a = 3} \) (Recuerda: en la hipérbola, \(a^2\) es el denominador del término positivo).
• \( b^2 = 16 \Rightarrow \mathbf{b = 4} \)
• \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \Rightarrow \mathbf{c = 5} \)

Paso 4: Elementos.
Al ser vertical, las coordenadas cambian en el eje Y:

• Vértices \(V(0, \pm a)\): \( V(0, 3) \) y \( V(0, -3) \)
• Focos \(F(0, \pm c)\): \( F(0, 5) \) y \( F(0, -5) \)

Solución:

Paso 1: Identificar orientación.
Como el vértice y el foco están en el eje Y (la coordenada x es 0), la hipérbola es Vertical.

Paso 2: Obtener \(a\), \(b\) y \(c\).

• Del vértice \(V(0, 6)\) sabemos que \( a = 6 \).
• Del foco \(F(0, 10)\) sabemos que \( c = 10 \).
• Necesitamos \(b\). Despejamos de Pitágoras: \( b^2 = c^2 - a^2 \).

\[ b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \]
\[ b = 8 \]

Paso 3: Sustituir en la fórmula.
Usamos la estructura vertical \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\):

\[ \frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{64} = 1 \]

Solución:

Paso 1: Obtener \(a\) del eje transverso.
Sabemos que la longitud del eje transverso es \(2a\).
\[ 2a = 12 \Rightarrow a = 6 \]

Paso 2: Usar la excentricidad para hallar \(c\).
La fórmula de la excentricidad es \( e = \frac{c}{a} \). Sustituimos los valores conocidos:

\[ \frac{5}{3} = \frac{c}{6} \]

Despejamos \(c\):

\[ c = \frac{5 \cdot 6}{3} = \frac{30}{3} = 10 \]

Paso 3: Calcular \(b\) con Pitágoras.
Recordemos que \(c^2 = a^2 + b^2\), por lo tanto \( b^2 = c^2 - a^2 \):

\[ b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \]

Paso 4: Armar la ecuación.
Al ser una hipérbola horizontal (lo dice el enunciado), usamos la forma \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \):

\[ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 \]

Solución:

Paso 1: Analizar los datos.
Al estar los focos en el eje Y \((0, \pm 10)\), confirmamos que es vertical y que \( c = 10 \).

Paso 2: Relacionar las asíntotas con \(a\) y \(b\).
Para una hipérbola vertical, la pendiente de la asíntota es \( m = \frac{a}{b} \).
Según el problema, \( \frac{a}{b} = \frac{4}{3} \). Esto no significa que \(a=4\) y \(b=3\) necesariamente, sino que están en esa proporción. Podemos decir que:

• \( a = 4k \)
• \( b = 3k \)

Paso 3: Hallar la constante \(k\).
Usamos la relación fundamental \( c^2 = a^2 + b^2 \):

\[ 10^2 = (4k)^2 + (3k)^2 \]
\[ 100 = 16k^2 + 9k^2 \]
\[ 100 = 25k^2 \]
\[ k^2 = \frac{100}{25} = 4 \Rightarrow k = 2 \]

Paso 4: Calcular valores reales de \(a\) y \(b\).

• \( a = 4(2) = 8 \Rightarrow a^2 = 64 \)
• \( b = 3(2) = 6 \Rightarrow b^2 = 36 \)

Paso 5: Ecuación Final.
Sustituimos en la forma vertical \( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \):

\[ \frac{y^2}{64} - \frac{x^2}{36} = 1 \]

Solución:

Paso 1: Identificar datos.
Eje focal sobre X = Horizontal.
Vértice en \( (4,0) \implies a = 4 \).
Lado Recto \( LR = 9 \).

Paso 2: Despejar \(b\) de la fórmula del Lado Recto.
Sabemos que \( LR = \frac{2b^2}{a} \). Sustituimos lo que tenemos:

\[ 9 = \frac{2b^2}{4} \]

Multiplicamos por 4 para eliminar el denominador:

\[ 36 = 2b^2 \]
\[ b^2 = \frac{36}{2} = 18 \]

Paso 3: Ecuación.
Tenemos \( a^2 = 4^2 = 16 \) y \( b^2 = 18 \).
La ecuación es:

\[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{18} = 1 \]

Solución:

Paso 1: Reordenar la ecuación.
Este ejercicio tiene una "trampa" común. Primero, dejemos las variables a la izquierda y el número a la derecha:

\[ 4y^2 - x^2 = -64 \]

Paso 2: Buscar el 1 positivo a la derecha.
Para que sea canónica, debe estar igualada a 1 positivo. Dividimos todo entre -64:

\[ \frac{4y^2}{-64} - \frac{x^2}{-64} = \frac{-64}{-64} \]

Simplificamos los signos y fracciones:

\[ -\frac{y^2}{16} + \frac{x^2}{64} = 1 \]

Reordenamos para que el positivo quede primero:

\[ \frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{16} = 1 \]

Paso 3: Interpretación.
¡Sorpresa! Aunque al inicio la \(y\) parecía positiva, al despejar el término independiente, la ecuación resultante tiene a \(x^2\) positiva. Es una Hipérbola Horizontal.

• \( a^2 = 64 \Rightarrow a = 8 \)
• \( b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \)

Paso 4: Vértices.
Al ser horizontal, los vértices están en \( V(\pm a, 0) \):

\[ V_1(8, 0) \text{ y } V_2(-8, 0) \]

Problemas Propuestos para Practicar

¿Listo para poner a prueba lo aprendido? Resuelve los siguientes ejercicios de hipérbola.