Hoy veremos un nuevo tema de nuestros artículos sobre geometría analítica, y se trata sobre el tema de la ecuación de la recta en su forma simétrica o canónica, pues bien, hasta este punto de nuestras publicaciones de ejercicios y problemas de la recta, hemos estudiado tres formas, las cuales se mencionan a continuación:

  1. Ecuación de la Recta en su forma Punto – Pendiente
  2. Ecuación de la Recta dado dos Puntos
  3. Ecuación de la Recta Pendiente – Ordenada al Origen

Ahora toca el caso para el último caso que estudiaremos en el blog, y se trata sobre la ecuación simétrica o canónica de la recta.

Obtención de la fórmula de la ecuación de la Recta en su forma simétrica

La fórmula es la siguiente:

¿Cómo la obtenemos?🤔

Para obtener la fórmula de la recta, veamos la siguiente gráfica. Donde tenemos una recta “L” que intersecta a los ejes “x” y “y” en los puntos A (a,0) y B (0,b), respectivamente. Tal como se ilustra en la gráfica:

Las coordenadas que tenemos, son las siguientes:

\displaystyle {{x}_{1}}=a

\displaystyle {{y}_{1}}=0

\displaystyle {{x}_{2}}=0

\displaystyle {{y}_{2}}=b

Si deseamos encontrar la pendiente de la recta, tenemos que utilizar la fórmula de la pendiente.

\displaystyle m=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}

Al sustituir en nuestros datos en la fórmula:

\displaystyle m=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{0-b}{a-0}=-\frac{b}{a}

Es decir:

\displaystyle m=-\frac{b}{a}

Ahora procedemos a utilizar la fórmula de la ecuación punto – pendiente:

\displaystyle y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})

Sustituimos nuestros datos en dicha fórmula:

\displaystyle y-0=-\frac{b}{a}(x-a)

Simplificando . . .

\displaystyle y=-\frac{bx}{a}+b

Multiplicando toda la ecuación por “a”, obtenemos:

\displaystyle a\left( y \right)=a\left( -\frac{bx}{a}+b \right)

Obtenemos

\displaystyle ay=-bx+ab

Vamos a dividir la ecuación por “ab”:

\displaystyle \frac{ay}{ab}=\frac{-bx+ab}{ab}

Obtenemos

\displaystyle \frac{y}{b}=-\frac{x}{a}+1

Despejando a la unidad, es decir a “1” . Nos queda:

\displaystyle \frac{y}{b}+\frac{x}{a}=1

Ordenando, finalmente tenemos:

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

👌 Finalmente encontramos la ecuación que también se le conoce como reducida o de abscisa.

Ejercicios Resueltos sobre la forma simétrica de la ecuación de la Recta

Veamos algunos ejemplos resueltos.

Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la recta, cuyas intersecciones con los ejes son los puntos A (3, 0) y B (0, – 4). 

Solución:

Al ver los datos del problema, podemos decir que: a = 3, y b = -4 . Entonces solamente tenemos que sustituir estos datos en nuestra fórmula.

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

Sustituyendo

\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{y}{-4}=1

El – 4 debajo de “y”, hará que se vuelva negativa.

\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1

Para eliminar a los denominadores que tenemos, podemos multiplicar toda la ecuación por 12.

\displaystyle 12\left( \frac{x}{3}-\frac{y}{4} \right)=12\left( 1 \right)

Esto nos dará:

\displaystyle 4x-3y=12

Una vez simplificada la ecuación. Vamos a igualar a cero.

▶ Resultado:

\displaystyle 4x-3y-12=0

Gráficamente la ecuación de la recta, es la siguiente:

Ejemplo 2. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son (-2) y (6) respectivamente. Hallar su ecuación

Solución:

Al sustituir los datos que tenemos, sabemos que a = -2 y b = 6 ; por lo que:

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

Sustituyendo

\displaystyle \frac{x}{-2}+\frac{y}{6}=1

Qué es igual a :

\displaystyle -\frac{x}{2}+\frac{y}{6}=1

Multiplicando por 12 a toda la ecuación tenemos que:

\displaystyle 12\left( -\frac{x}{2}+\frac{y}{6} \right)=12\left( 1 \right)

Por lo que:

\displaystyle -6x+2y=12

Igualando la ecuación a cero:

▶ Resultado:

\displaystyle 6x-2y+12=0

Dicha ecuación, la podemos observar gráficamente de la siguiente manera:

Ecuación de la Recta en su forma simétrica

Ejemplo 3. Determina la ecuación general de la recta, cuyas intersecciones con los ejes son los puntos A (-4, 0) y B (0, 8). 

Solución:

Los datos que tenemos son los siguientes, para a = -4 y b = 8. Con estos datos podemos resolver nuestro ejemplo sin dificultades.

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

Sustituyendo en la fórmula:

\displaystyle \frac{x}{-4}+\frac{y}{8}=1

Dicho de otra forma, esto es:

\displaystyle -\frac{x}{4}+\frac{y}{8}=1

Podemos multiplicar toda la ecuación por 8, y esto simplificará nuestros cálculos.

\displaystyle 8\left( -\frac{x}{4}+\frac{y}{8} \right)=8\left( 1 \right)

Obtenemos:

\displaystyle -2x+y=8

Igualando a cero:

\displaystyle 8+2x-y=0

Ordenando.

▶ Resultado:

\displaystyle 2x-y+8=0

De forma gráfica, esto es:

Forma simétrica de la recta