Funciones - Ejercicios Resueltos

Hoy aprenderás sobre funciones, en esta sección nos aseguraremos de que estés familiarizado con las funciones y la notación de funciones. Ambos conceptos aparecerán en casi todas las secciones de un curso de Cálculo, por lo que necesitarás ser capaz de manejarlos con soltura. ¿Habías oído hablar sobre ellas? ¿crees que llegó tu momento de aprenderlas?, pues ahora es cuando. 😊

Primero, ¿qué es exactamente una función? La definición más simple es que una ecuación será una función si, para cualquier \(x\) en el dominio de la ecuación (el dominio son todos los \(x\) que se pueden usar en la ecuación), la ecuación producirá exactamente un valor de \(y\) cuando evaluemos la ecuación en un \(x\) específico.

Entendiendo a las funciones 🧠

Como siempre esto suele ser más fácil de entender con un ejemplo. 👇

Solución

a) \(y = {x^2} + 1\)

Esta primera ecuación es una función. Dado un valor de \(x\), solo hay una manera de elevarlo al cuadrado y luego sumarle 1. Por lo tanto, no importa qué valor de \(x\) uses en la ecuación, siempre obtendrás un único valor posible para \(y\).

b) \({y^2} = x + 1\)

La única diferencia entre esta ecuación y la primera es que hemos movido el exponente de la \(x\) a la \(y\). Este pequeño cambio es todo lo que se necesita, en este caso, para que la ecuación deje de ser una función.

Para ver que esto no es una función, es bastante simple. Elige un valor de \(x\), digamos \(x = 3\), y sustitúyelo en la ecuación.

\[{y^2} = 3 + 1 = 4\]

Ahora, hay dos valores posibles de \(y\) que podríamos usar aquí. Podríamos usar \(y = 2\) o \(y = -2\). Como obtenemos dos valores posibles de \(y\) a partir de un solo valor de \(x\), esta ecuación no es una función.

Ten en cuenta que esto solo necesita ocurrir para un único valor de \(x\) para que una ecuación no sea una función. Por ejemplo, podríamos haber usado \(x = -1\), y en este caso, obtendríamos un solo valor de \(y\) (\(y = 0\)). Sin embargo, debido a lo que sucede en \(x = 3\), esta ecuación no será una función.

Notación de Funciones

A continuación, necesitamos echar un vistazo rápido a la notación de funciones. La notación de funciones no es más que una forma elegante de escribir la \(y\) en una función, lo que nos permitirá simplificar la notación y parte de nuestro trabajo.

Echemos un vistazo a la siguiente función.

\[y = 2{x^2} - 5x + 3\]

Usando la notación de funciones, podemos escribir esto de cualquiera de las siguientes maneras:

\[\begin{array}{ccc}\begin{aligned}f\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3 \\ h\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3 \\ w\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3 \end{aligned} &\hspace{0.75in} & \begin{aligned}g\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3\\ R\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3\\ y\left( x \right) & = 2{x^2} - 5x + 3\\ \end{aligned} \\ & \vdots & \end{array}\]

Recuerda que esto NO es una letra multiplicada por \(x\), es solo una forma elegante de escribir \(y\).

Entonces, ¿por qué es útil? Bueno, tomemos la función anterior y obtengamos el valor de la función en \(x = -3\). Usando la notación de funciones, representamos el valor de la función en \(x = -3\) como \(f\left( -3 \right)\). La notación de funciones nos da una forma compacta y agradable de representar los valores de una función.

Ahora, ¿cómo evaluamos realmente la función? Es muy simple. En todos los lugares donde veamos una \(x\) en el lado derecho, sustituiremos lo que esté dentro del paréntesis en el lado izquierdo. Para nuestra función, esto nos da:

\[\begin{align*}f\left( { - 3} \right) & = 2{\left( { - 3} \right)^2} - 5\left( { - 3} \right) + 3\\ & = 2\left( 9 \right) + 15 + 3\\ & = 36\end{align*}\]

Veamos algunas evaluaciones más de funciones.

Evaluación de Funciones

Solución

a) \(f\left( 2 \right)\)

\[f\left( 2 \right) = - {\left( 2 \right)^2} + 6(2) - 11 = - 3\]

b) \(f\left( { - 10} \right)\)

\[f\left( { - 10} \right) = - {\left( { - 10} \right)^2} + 6\left( { - 10} \right) - 11 = - 100 - 60 - 11 = - 171\]

¡Ten cuidado al elevar al cuadrado números negativos!

c) \(f\left( t \right)\)

\[f\left( t \right) = - {t^2} + 6t - 11\]

Recuerda que sustituimos por las \(x\) CUALQUIER COSA que esté en el paréntesis de la izquierda. A menudo, esto será algo distinto a un número. Así que, en este caso, ponemos \(t\) en lugar de todas las \(x\).

d) \(f\left( {t - 3} \right)\)

\[f\left( {t - 3} \right) = - {\left( {t - 3} \right)^2} + 6\left( {t - 3} \right) - 11 = - {t^2} + 12t - 38\]

A menudo, en lugar de evaluar funciones en números o letras individuales, tendremos evaluaciones bastante complejas, así que asegúrate de que puedes hacer este tipo de evaluaciones.

e) \(f\left( {x - 3} \right)\)

\[f\left( {x - 3} \right) = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 6\left( {x - 3} \right) - 11 = - {x^2} + 12x - 38\]

La única diferencia entre este y el anterior es que cambiamos la \(t\) por una \(x\). ¡Aparte de eso, no hay absolutamente ninguna diferencia entre los dos! No te alarmes si aparece una \(x\) dentro del paréntesis de la izquierda.

f) \(f\left( {4x - 1} \right)\)

\[f\left( {4x - 1} \right) = - {\left( {4x - 1} \right)^2} + 6\left( {4x - 1} \right) - 11 = - 16{x^2} + 32x - 18\]

Este no es muy diferente del apartado anterior. Todo lo que hicimos fue cambiar la expresión que estábamos sustituyendo en la función.

A lo largo de un curso de cálculo, estaremos encontrando las raíces de las funciones. Una raíz de una función no es más que un número para el cual la función vale cero. En otras palabras, encontrar las raíces de una función, \(g\left( x \right)\), es equivalente a resolver:

\[g\left( x \right) = 0\]

Encontrando las Raíces de una Función

Solución

Entonces, necesitaremos resolver,

\[9{t^3} - 18{t^2} + 6t = 0\]

Primero, debemos factorizar la ecuación tanto como sea posible. Haciendo esto obtenemos,

\[3t\left( {3{t^2} - 6t + 2} \right) = 0\]

A continuación, recuerda que si un producto de dos cosas es cero, entonces una (o ambas) de ellas tuvo que ser cero. Esto significa que,

\[\begin{align*}3t & = 0\hspace{0.5in}{\rm{O,}}\\ 3{t^2} - 6t + 2 & = 0\end{align*}\]

De la primera ecuación, está claro que una de las raíces debe ser \(t = 0\). Para obtener las raíces restantes, necesitaremos usar la fórmula cuadrática en la segunda ecuación. Haciendo esto, obtenemos:

\[\begin{align*}t & = \frac{{ - \left( { - 6} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} - 4\left( 3 \right)\left( 2 \right)} }}{{2\left( 3 \right)}}\\ & = \frac{{6 \pm \sqrt {12} }}{6}\\ & = \frac{{6 \pm \sqrt {\left( 4 \right)\left( 3 \right)} }}{6}\\ & = \frac{{6 \pm 2\sqrt 3 }}{6}\\ & = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{3}\\ & = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt 3 \\ & = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{align*}\]

Para recordarte cómo simplificar radicales, dimos varias formas de la respuesta.

Para completar el problema, aquí está una lista completa de todas las raíces de esta función.

\[t = 0,\,\,t = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3},\,\,\,t = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\]

Observa que no usamos la forma final para las raíces de la cuadrática. Generalmente, aquí es donde nos detendremos con la simplificación para este tipo de raíces. También nota que, por motivos de práctica, separamos la forma compacta para las dos raíces de la cuadrática. Necesitarás ser capaz de hacer esto, así que asegúrate de que puedas.

Este ejemplo tenía un par de puntos además de encontrar las raíces de las funciones.

El primero era recordarte la fórmula cuadrática. No será la última vez que la necesites en esta clase.

Así que, aquí va una advertencia. En esta clase, a menudo haré intencionadamente que las respuestas parezcan "complicadas" solo para que pierdas la costumbre de esperar siempre respuestas "bonitas". En la "vida real" (lo que sea que eso signifique) la respuesta rara vez es un simple entero como dos. En la mayoría de los problemas, la respuesta será un decimal que provino de una fracción complicada y/o una respuesta que involucraba radicales. ¿Ok?

Dominio y Rango

Una de las ideas más importantes sobre las funciones es la del dominio y el rango de una función. En términos simples, el dominio de una función es el conjunto de todos los valores que se pueden introducir en una función y que la función exista y tenga un número real como valor. Entonces, para el dominio, necesitamos evitar la división por cero, las raíces cuadradas de números negativos, los logaritmos de cero y los logaritmos de números negativos (si no estás familiarizado con los logaritmos, los veremos un poco más adelante), etc. El rango de una función es simplemente el conjunto de todos los valores posibles que una función puede tomar.

Encontremos el dominio y el rango de algunas funciones.

Solución

a) \(f\left( x \right) = 5x - 3\)

Sabemos que esto es una línea y que no es una línea horizontal (porque la pendiente es 5 y no cero...). Esto significa que esta función puede tomar cualquier valor y, por lo tanto, el rango son todos los números reales. Usando notación "matemática", esto es:

\[{\rm{Rango}}:\,\,\,\left( { - \infty ,\infty } \right)\]

Esto es, más generalmente, un polinomio, y sabemos que podemos introducir cualquier valor en un polinomio, por lo que el dominio en este caso también son todos los números reales, o:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\, - \infty < x < \infty \hspace{0.25in}{\rm{o}} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]

b) \(g\left( t \right) = \sqrt {4 - 7t} \)

Esto es una raíz cuadrada, y sabemos que las raíces cuadradas son siempre positivas o cero. Sabemos entonces que el rango será:

\[{\rm{Rango}}:\,\,\,\left[ {0,\infty } \right)\]

Para el dominio, tenemos un poco de trabajo que hacer, pero no mucho. Necesitamos asegurarnos de no tomar raíces cuadradas de ningún número negativo, por lo que debemos requerir que:

\[\begin{align*}4 - 7t & \ge 0\\ 4 & \ge 7t\\ \frac{4}{7} & \ge t \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}t \le \frac{4}{7}\end{align*}\]

El dominio es entonces:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\,t \le \frac{4}{7}\hspace{0.25in}{\rm{o }} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\frac{4}{7}} \right]\]

c) \(h\left( x \right) = - 2{x^2} + 12x + 5\)

Aquí tenemos una cuadrática, que es un polinomio, así que nuevamente sabemos que el dominio son todos los números reales, o:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\, - \infty < x < \infty \hspace{0.25in} {\rm{o }} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]

En este caso, el rango requiere un poco de trabajo. De una clase de Álgebra, sabemos que la gráfica de esto será una parábola que se abre hacia abajo (porque el coeficiente de \({x^2}\) es negativo) y, por lo tanto, el vértice será el punto más alto de la gráfica. Si conocemos el vértice, podemos obtener el rango. El vértice es:

\[x = - \frac{{12}}{{2\left( { - 2} \right)}} = 3\hspace{0.25in}y = h\left( 3 \right) = - 2{\left( 3 \right)^2} + 12\left( 3 \right) + 5 = 23\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( {3,23} \right)\]

Entonces, como se discutió, sabemos que este será el punto más alto en la gráfica o el valor más grande de la función, y la parábola tomará todos los valores menores que este, por lo que el rango es:

\[{\rm{Rango}}:\,\,\,\left( { - \infty ,23} \right]\]

d) \(f\left( z \right) = \left| {z - 6} \right| - 3\)

Esta función contiene un valor absoluto, y sabemos que el valor absoluto será positivo o cero. En este caso, el valor absoluto será cero si \(z = 6\), por lo que la parte del valor absoluto de esta función siempre será mayor o igual a cero. Estamos restando 3 de la parte del valor absoluto, por lo que sabemos que el rango será:

\[{\rm{Rango}}:\,\,\,\left[ { - 3,\infty } \right)\]

Podemos introducir cualquier valor en un valor absoluto, por lo que el dominio es una vez más todos los números reales, o:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\, - \infty < z < \infty \hspace{0.25in}{\rm{o }} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]

e) \(g\left( x \right) = 8\)

Esta función puede parecer un poco complicada al principio, pero en realidad es la más fácil de este conjunto de ejemplos. Esta es una función constante, por lo que cualquier valor de \(x\) que introduzcamos en la función dará un valor de 8. Esto significa que el rango es un solo valor, o:

\[{\rm{Rango}}:\,\,\,8\]

El dominio son todos los números reales:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\, - \infty < x < \infty \hspace{0.25in}{\rm{o }} \hspace{0.25in} \left( { - \infty ,\infty } \right)\]

Funciones más complejas

En general, determinar el rango de una función puede ser algo difícil. Mientras nos restrinjamos a funciones "simples", algunas de las cuales vimos en el ejemplo anterior, encontrar el rango no es tan malo, pero para la mayoría de las funciones puede ser un proceso difícil.

Debido a la dificultad para encontrar el rango de muchas funciones, tuvimos que mantener las del conjunto anterior algo simples, lo que también significó que no pudimos ver algunos de los ejemplos de dominio más complicados que probablemente sean importantes en un curso de Cálculo. Así que, echemos un vistazo a otro conjunto de funciones, pero esta vez solo buscaremos el dominio.

Solución

a) \(f\left( x \right) = \displaystyle \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x - 15}}\)

Bien, con este problema necesitamos evitar la división por cero, por lo que debemos determinar dónde el denominador es cero, lo que significa resolver:

\[{x^2} - 2x - 15 = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 3,\,\,x = 5\]

Entonces, estos son los únicos valores de \(x\) que debemos evitar, y por lo tanto, el dominio es:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\,{\mbox{Todos los números reales excepto}}\,\,x = - 3\,\,\ \mbox{y} \,\,x = 5\]

b) \(g\left( t \right) = \sqrt {6 + t - {t^2}} \)

En este caso, necesitamos evitar las raíces cuadradas de números negativos, por lo que debemos requerir que:

\[6 + t - {t^2} \ge 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{t^2} - t - 6 \le 0\]

Observa que multiplicamos toda la desigualdad por -1 (y recordamos cambiar la dirección de la desigualdad) para que sea más fácil de manejar. Necesitarás ser capaz de resolver desigualdades como esta más de unas pocas veces en un curso de Cálculo, así que asegurémonos de que puedes resolverlas.

Lo primero que debemos hacer es determinar dónde la función es cero, y eso no es muy difícil en este caso.

\[{t^2} - t - 6 = \left( {t - 3} \right)\left( {t + 2} \right) = 0\]

Entonces, la función será cero en \(t = -2\) y \(t = 3\). Recuerda que estos puntos serán el único lugar donde la función puede cambiar de signo. No es obligatorio que cambie de signo en estos puntos, pero estos serán los únicos puntos donde la función puede cambiar de signo. Esto significa que todo lo que necesitamos hacer es dividir una recta numérica en las tres regiones que evitan estos dos puntos y probar el signo de la función en un solo punto en cada una de las regiones. Si la función es positiva en un solo punto de la región, será positiva en todos los puntos de esa región porque no contiene ninguno de los puntos donde la función puede cambiar de signo. Tendremos una situación similar si la función es negativa para el punto de prueba.

Aquí hay una recta numérica que muestra estos cálculos.

De esto podemos ver que la única región en la que la cuadrática (en su forma modificada) será negativa es en la región central. Recordando que llegamos a la región modificada multiplicando la cuadrática por -1, esto significa que la cuadrática bajo la raíz solo será positiva en la región central, y por lo tanto, el dominio para esta función es:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\, - 2 \le t \le 3 \hspace{0.25in} {\rm{o }} \hspace{0.25in} \left[ { - 2,3} \right]\]

c) \(h\left( x \right) = \displaystyle \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\)

En este caso, tenemos una mezcla de las dos partes anteriores. Tenemos que preocuparnos por la división por cero y las raíces cuadradas de números negativos. Podemos cubrir ambos problemas requiriendo que:

\[{x^2} - 9 > 0\]

Observa que aquí necesitamos que la desigualdad sea estrictamente mayor que cero para evitar los problemas de división por cero. Podemos resolver esto con el método del ejemplo anterior o, en este caso, es lo suficientemente fácil de resolver por inspección. El dominio en este caso es:

\[{\rm{Dominio}}:\,\,\,x < - 3\,\,\& \,\,x > 3\hspace{0.25in}{\rm{o }} \hspace{0.25in} \left( { - \infty , - 3} \right)\,\,\& \,\,\left( {3,\infty } \right)\]

El siguiente tema que necesitamos discutir aquí es el de la composición de funciones. La composición de \(f(x)\) y \(g(x)\) es:

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)\]

En otras palabras, las composiciones se evalúan introduciendo la segunda función listada en la primera función listada. Ten en cuenta también que el orden es importante aquí. Intercambiar el orden resultará, la mayoría de las veces, en una respuesta diferente.

Solución

a) \(\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right)\)

En este caso tenemos un número en lugar de una \(x\), pero funciona exactamente de la misma manera.

\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right) & = f\left( {g\left( 5 \right)} \right)\\ & = f\left( {1-20(5)} \right) = f\left( { - 99} \right) \\ & = 3(-99)^2 - (-99) + 10 = 29512\end{align*}\]

b) \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)

\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) & = f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = f\left( {1 - 20x} \right)\\ & = 3{\left( {1 - 20x} \right)^2} - \left( {1 - 20x} \right) + 10\\ & = 3\left( {1 - 40x + 400{x^2}} \right) - 1 + 20x + 10\\ & = 1200{x^2} - 120x + 3 - 1 + 20x + 10 \\ & = 1200{x^2} - 100x + 12\end{align*}\]

Compara esta respuesta con la del siguiente apartado y observa que las respuestas NO son las mismas. ¡El orden en que se listan las funciones es importante!

c) \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

\[\begin{align*}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) & = g\left( {f\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {3{x^2} - x + 10} \right)\\ & = 1 - 20\left( {3{x^2} - x + 10} \right)\\ & = - 60{x^2} + 20x - 199\end{align*}\]

Y solo para dejar claro el punto una vez más. Esta respuesta es diferente a la del apartado anterior. El orden es importante en la composición.

d) \(\left( {g \circ g} \right)\left( x \right)\)

En este caso, no te preocupes por el hecho de que es la misma función. La composición sigue funcionando de la misma manera.

\[\begin{align*}\left( {g \circ g} \right)\left( x \right) & = g\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {1 - 20x} \right)\\ & = 1 - 20\left( {1 - 20x} \right)\\ & = 1 - 20 + 400x \\ & = 400x - 19\end{align*}\]

Trabajemos un ejemplo más que nos llevará a la siguiente sección.

Solución

a) \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)

\[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) & = f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = f\left( {\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}} \right)\\ & = 3\left( {\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}} \right) - 2\\ & = x + 2 - 2\\ & = x\end{align*}\]

b) \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

\[\begin{align*}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) & = g\left( {f\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {3x - 2} \right)\\ & = \frac{1}{3}\left( {3x - 2} \right) + \frac{2}{3}\\ & = x - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\\ & = x\end{align*}\]

En este caso, las dos composiciones fueron iguales y, de hecho, la respuesta fue muy simple.

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

Esto normalmente no sucederá. Sin embargo, cuando las dos composiciones son ambas \(x\), existe una relación muy interesante entre las dos funciones. Echaremos un vistazo a esa relación en la siguiente sección.

🚀 Ejercicios para practicar y aprender de Funciones

Para los problemas 1 – 4, con las funciones dadas, realiza las evaluaciones de función indicadas.

Solución

a) Evaluar \(f\left( 4 \right)\)

\[f(4) = 3 - 5(4) - 2(4^2) = 3 - 20 - 2(16) = -49\]

b) Evaluar \(f\left( 0 \right)\)

\[f(0) = 3 - 5(0) - 2(0^2) = 3\]

c) Evaluar \(f\left( { - 3} \right)\)

\[f(-3) = 3 - 5(-3) - 2(-3)^2 = 3 + 15 - 18 = 0\]

d) Evaluar \(f\left( {6 - t} \right)\)

\[f(6-t) = 3 - 5(6-t) - 2(6-t)^2\]\[= 3 - 30 + 5t - 2(36 - 12t + t^2)\]\[= -27 + 5t - 72 + 24t - 2t^2\]\[= -2t^2 + 29t - 99\]

e) Evaluar \(f\left( {7 - 4x} \right)\)

\[f(7-4x) = 3 - 5(7-4x) - 2(7-4x)^2\]\[= 3 - 35 + 20x - 2(49 - 56x + 16x^2)\]\[= -32 + 20x - 98 + 112x - 32x^2\]\[= -32x^2 + 132x - 130\]

f) Evaluar \(f\left( {x + h} \right)\)

\[f(x+h) = 3 - 5(x+h) - 2(x+h)^2\]\[= 3 - 5x - 5h - 2(x^2 + 2xh + h^2)\]\[= 3 - 5x - 5h - 2x^2 - 4xh - 2h^2\]

Solución

a) Evaluar \(g\left( 0 \right)\)

\[g(0) = \frac{0}{2(0) + 6} = \frac{0}{6} = 0\]

b) Evaluar \(g\left( { - 3} \right)\)

\[g(-3) = \frac{-3}{2(-3) + 6} = \frac{-3}{0}\]

El resultado es indefinido ya que t = -3 causa una división por cero.

c) Evaluar \(g\left( {10} \right)\)

\[g(10) = \frac{10}{2(10) + 6} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}\]

d) Evaluar \(g\left( {{x^2}} \right)\)

\[g(x^2) = \frac{x^2}{2(x^2) + 6} = \frac{x^2}{2x^2 + 6}\]

e) Evaluar \(g\left( {t + h} \right)\)

\[g(t+h) = \frac{t+h}{2(t+h) + 6} = \frac{t+h}{2t + 2h + 6}\]

f) Evaluar \(g\left( {{t^2} - 3t + 1} \right)\)

\[g(t^2 - 3t + 1) = \frac{t^2 - 3t + 1}{2(t^2 - 3t + 1) + 6} = \frac{t^2 - 3t + 1}{2t^2 - 6t + 8}\]

Solución

a) Evaluar \(h\left( 0 \right)\)

\[h(0) = \sqrt{1 - 0^2} = 1\]

b) Evaluar \(h\left( { - \frac{1}{2}} \right)\)

\[h\left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

c) Evaluar \(h\left( {\frac{1}{2}} \right)\)

\[h\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

d) Evaluar \(h\left( {9z} \right)\)

\[h(9z) = \sqrt{1 - (9z)^2} = \sqrt{1 - 81z^2}\]

e) Evaluar \(h\left( {{z^2} - 2z} \right)\)

\[h(z^2 - 2z) = \sqrt{1 - (z^2 - 2z)^2}\]

f) Evaluar \(h\left( {z + k} \right)\)

\[h(z+k) = \sqrt{1 - (z+k)^2}\]

Solución

a) Evaluar \(R\left( 0 \right)\)

\[R(0) = \sqrt{3+0} - \frac{4}{0+1} = \sqrt{3} - 4\]

b) Evaluar \(R\left( 6 \right)\)

\[R(6) = \sqrt{3+6} - \frac{4}{6+1} = \sqrt{9} - \frac{4}{7} = 3 - \frac{4}{7} = \frac{17}{7}\]

c) Evaluar \(R\left( { - 9} \right)\)

\[R(-9) = \sqrt{3-9} - \frac{4}{-9+1} = \sqrt{-6} - \frac{4}{-8}\]

El resultado es indefinido ya que contiene la raíz cuadrada de un número negativo.

d) Evaluar \(R\left( {x + 1} \right)\)

\[R(x+1) = \sqrt{3 + (x+1)} - \frac{4}{(x+1)+1} = \sqrt{x+4} - \frac{4}{x+2}\]

e) Evaluar \(R\left( {{x^4} - 3} \right)\)

\[R(x^4-3) = \sqrt{3 + (x^4-3)} - \frac{4}{(x^4-3)+1} = \sqrt{x^4} - \frac{4}{x^4-2} = |x^2| - \frac{4}{x^4-2} = x^2 - \frac{4}{x^4-2}\]

f) Evaluar \(R\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)\)

\[R\left(\frac{1}{x}-1\right) = \sqrt{3 + \left(\frac{1}{x}-1\right)} - \frac{4}{\left(\frac{1}{x}-1\right)+1} = \sqrt{2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{1/x} = \sqrt{2 + \frac{1}{x}} - 4x\]

Cociente de Diferencias

El cociente de diferencias de una función \(f\left( x \right) \) se define como: \[\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\] Para los problemas 5 – 9, calcula el cociente de diferencias de la función dada.

Solución

\[\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} = \frac{{(4(x+h) - 9) - (4x-9)}}{h}\]\[= \frac{{4x+4h-9-4x+9}}{h} = \frac{{4h}}{h} = 4\]

Solución

\[\frac{{g\left( {x + h} \right) - g\left( x \right)}}{h} = \frac{{(6 - (x+h)^2) - (6 - x^2)}}{h}\]\[= \frac{{6 - (x^2+2xh+h^2) - 6 + x^2}}{h}\]\[= \frac{{-2xh - h^2}}{h} = \frac{{h(-2x-h)}}{h}\]\[= -2x-h\]

Solución

El cociente de diferencias es \[\frac{f(t+h) - f(t)}{h}\]. Primero, calculamos \(f(t+h)\):

\[f(t+h) = 2(t+h)^2 - 3(t+h) + 9 = 2(t^2+2th+h^2) - 3t-3h+9\]\[= 2t^2+4th+2h^2-3t-3h+9\]

Ahora, lo sustituimos en el cociente:

\[\frac{(2t^2+4th+2h^2-3t-3h+9) - (2t^2-3t+9)}{h}\]\[= \frac{4th+2h^2-3h}{h}\]\[= \frac{h(4t+2h-3)}{h} = 4t+2h-3\]

Solución

El cociente de diferencias es \[\frac{y(z+h) - y(z)}{h}\].

\[ \frac{y(z+h) - y(z)}{h} = \frac{\frac{1}{z+h+2} - \frac{1}{z+2}}{h} \]

Para simplificar el numerador, buscamos un denominador común:

\[ \frac{\frac{(z+2) - (z+h+2)}{(z+h+2)(z+2)}}{h} = \frac{\frac{-h}{(z+h+2)(z+2)}}{h} \]

Ahora, completamos la división:

\[ = \frac{-h}{h(z+h+2)(z+2)} = \frac{-1}{(z+h+2)(z+2)} \]

Solución

El cociente de diferencias es \[\frac{A(t+h) - A(t)}{h}\].

\[ \frac{A(t+h) - A(t)}{h} = \frac{\frac{2(t+h)}{3-(t+h)} - \frac{2t}{3-t}}{h} \]

Simplificamos el numerador con un denominador común:

\[ = \frac{\frac{(2t+2h)(3-t) - 2t(3-t-h)}{(3-t-h)(3-t)}}{h} \]

Expandimos los productos en el numerador:

\[ = \frac{\frac{(6t-2t^2+6h-2th) - (6t-2t^2-2th)}{(3-t-h)(3-t)}}{h} \]\[ = \frac{\frac{6h}{(3-t-h)(3-t)}}{h} \]

Finalmente, completamos la división:

\[ = \frac{6h}{h(3-t-h)(3-t)} = \frac{6}{(3-t-h)(3-t)} \]

Raíces de una función dada

Para los problemas 10 – 17, determina todas las raíces de la función dada.

Solución

Para encontrar las raíces, igualamos la función a cero:

\[{x^5} - 4{x^4} - 32{x^3} = 0\]

Primero, factorizamos el máximo común divisor, que es \(x^3\):

\[x^3(x^2 - 4x - 32) = 0\]

Luego, factorizamos el trinomio cuadrático:

\[x^3(x - 8)(x + 4) = 0\]

Ahora, igualamos cada factor a cero para encontrar las raíces:

\[x^3 = 0 \Rightarrow x = 0\]\[x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\]\[x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]

Las raíces de la función son x = -4, 0, 8.

Solución

Igualamos la función a cero y usamos la fórmula cuadrática \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\):

\[12y^2 + 11y - 5 = 0\]

Aquí, a=12, b=11, y c=-5.

\[y = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(12)(-5)}}{2(12)}\]\[y = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 240}}{24}\]\[y = \frac{-11 \pm \sqrt{361}}{24}\]\[y = \frac{-11 \pm 19}{24}\]

Esto nos da dos raíces:

\[y_1 = \frac{-11 + 19}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\]\[y_2 = \frac{-11 - 19}{24} = \frac{-30}{24} = -\frac{5}{4}\]

Las raíces son y = -5/4, 1/3.

Solución

Reordenamos la función e igualamos a cero:

\[-2t^2 - 3t + 18 = 0\]

Usamos la fórmula cuadrática con a=-2, b=-3, y c=18.

\[t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(-2)(18)}}{2(-2)}\]\[t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{-4}\]\[t = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{-4}\]

Las raíces son \(t = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{-4}\). (Nota: \(\sqrt{153}\) se puede simplificar como \(3\sqrt{17}\) pero esta forma es aceptable).

Dominio y Rango

Solución

Dominio:

La función es un polinomio cuadrático. No hay restricciones como divisiones por cero o raíces de números negativos. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales.

\[\text{Dominio: } (-\infty, \infty)\]

Rango:

La gráfica de esta función es una parábola. Como el coeficiente del término \(t^2\) es positivo (3 > 0), la parábola se abre hacia arriba. El valor mínimo de la función se encuentra en el vértice. La coordenada 't' del vértice se calcula con la fórmula \(t = -b/(2a)\).

\[t_{vértice} = \frac{-(-2)}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Ahora, evaluamos la función en este punto para encontrar el valor mínimo (la coordenada 'Y' del vértice).

\[Y\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = 3\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}\]

El valor mínimo de la función es 2/3. El rango incluye este valor y todos los números mayores que él.

\[\text{Rango: } [\frac{2}{3}, \infty)\]

Solución

Dominio:

Esta es una función polinómica, por lo que su dominio es todos los números reales.

\[\text{Dominio: } (-\infty, \infty)\]

Rango:

La gráfica es una parábola. Como el coeficiente del término \(z^2\) es negativo (-1 < 0), la parábola se abre hacia abajo. El valor máximo de la función se encuentra en el vértice. Calculamos la coordenada 'z' del vértice:

\[z_{vértice} = \frac{-(-4)}{2(-1)} = \frac{4}{-2} = -2\]

Evaluamos la función en este punto para encontrar el valor máximo.

\[g(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 7 = -(4) + 8 + 7 = 11\]

El valor máximo de la función es 11. El rango incluye este valor y todos los números menores que él.

\[\text{Rango: } (-\infty, 11]\]

Solución

Dominio:

Necesitamos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz cuadrada no sea negativa. Analizamos \(z^2 + 1\).

\[z^2 \ge 0 \quad (\text{para cualquier z real})\]\[z^2 + 1 \ge 1\]

Dado que \(z^2 + 1\) es siempre positivo, nunca hay una raíz de un número negativo. El dominio es todos los números reales.

\[\text{Dominio: } (-\infty, \infty)\]

Rango:

Para encontrar el rango, analizamos los valores que puede tomar la parte de la raíz. El valor mínimo de \(z^2 + 1\) es 1 (cuando z=0). Por lo tanto, el valor mínimo de \(\sqrt{z^2+1}\) es \(\sqrt{1}=1\). A medida que \(|z|\) aumenta, \(\sqrt{z^2+1}\) también aumenta sin límite.

\[\sqrt{z^2+1} \ge 1\]

Ahora consideramos la función completa:

\[f(z) = 2 + \sqrt{z^2+1} \ge 2 + 1 = 3\]

El valor mínimo de la función es 3, y puede tomar cualquier valor mayor.

\[\text{Rango: } [3, \infty)\]

Solución

Dominio:

El radicando (la expresión dentro de la raíz) debe ser mayor o igual a cero.

\[14 + 3y \ge 0\]\[3y \ge -14\]\[y \ge -\frac{14}{3}\]

El dominio es todos los números reales mayores o iguales a -14/3.

\[\text{Dominio: } [-\frac{14}{3}, \infty)\]

Rango:

Por definición, el resultado de una raíz cuadrada, \(\sqrt{...}\), es siempre no negativo ( \(\ge 0\) ).

\[\sqrt{14+3y} \ge 0\]

Ahora, multiplicamos por -3. Recuerda que al multiplicar una desigualdad por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte.

\[-3\sqrt{14+3y} \le -3(0)\]\[h(y) \le 0\]

La función siempre es menor o igual a cero. El valor máximo es 0 (cuando \(y = -14/3\)).

\[\text{Rango: } (-\infty, 0]\]

Solución

Dominio:

La función contiene una operación de valor absoluto y una resta. Ninguna de estas operaciones tiene restricciones en los números reales que se pueden introducir. El dominio es todos los números reales.

\[\text{Dominio: } (-\infty, \infty)\]

Rango:

Analizamos el comportamiento del término con valor absoluto. El resultado de un valor absoluto es siempre no negativo.

\[|x+8| \ge 0\]

Ahora, multiplicamos por -1, lo que invierte la desigualdad.

\[-|x+8| \le 0\]

Finalmente, sumamos 5 a ambos lados de la desigualdad.

\[5 - |x+8| \le 5\]\[M(x) \le 5\]

La función siempre es menor o igual a 5. El valor máximo es 5 (esto ocurre cuando \(x=-8\)).

\[\text{Rango: } (-\infty, 5]\]

Dominio de una función dada

Para los problemas 23 – 32, encuentra el dominio de la función dada.

Solución

La función es racional. El dominio está restringido por los valores que hacen cero el denominador. Debemos encontrar cuándo el denominador es cero y excluir ese valor de w.

\[12w - 7 = 0\]\[12w = 7\]\[w = \frac{7}{12}\]

El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto 7/12.

\[\text{Dominio: } \left(-\infty, \frac{7}{12}\right) \cup \left(\frac{7}{12}, \infty\right)\]

Solución

El radicando (la expresión dentro de la raíz cuadrada) debe ser mayor o igual a cero.

\[25 - x^2 \ge 0\]

Para resolver esta desigualdad, primero encontramos las raíces de la ecuación \(25 - x^2 = 0\).

\[(5-x)(5+x) = 0\]

Las raíces son x = 5 y x = -5. Estos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos. Probamos un punto en cada intervalo para ver dónde se cumple la desigualdad:

• Intervalo \((-\infty, -5)\): Si x = -6, \(25 - (-6)^2 = 25 - 36 = -11 < 0\). No cumple.
• Intervalo \([-5, 5]\): Si x = 0, \(25 - 0^2 = 25 > 0\). Sí cumple.
• Intervalo \((5, \infty)\): Si x = 6, \(25 - 6^2 = 25 - 36 = -11 < 0\). No cumple.

El dominio es el intervalo donde la desigualdad es verdadera.

\[\text{Dominio: } [-5, 5]\]

Solución

Para esta función, ambas expresiones dentro de las raíces cuadradas deben ser no negativas. Debemos satisfacer dos condiciones simultáneamente.

Condición 1:

\[z - 1 \ge 0 \Rightarrow z \ge 1\]

Condición 2:

\[z + 6 \ge 0 \Rightarrow z \ge -6\]

El dominio de la función es la intersección de ambos conjuntos de soluciones. Necesitamos los valores de z que son mayores o iguales a 1 Y mayores o iguales a -6. La condición más restrictiva es \(z \ge 1\).

\[\text{Dominio: } [1, \infty)\]

Solución

Tenemos dos condiciones que deben cumplirse.

Condición 1 (primera raíz): El radicando debe ser no negativo.

\[2y + 9 \ge 0 \Rightarrow 2y \ge -9 \Rightarrow y \ge -\frac{9}{2}\]

Condición 2 (segunda raíz en el denominador): El radicando debe ser estrictamente positivo (no puede ser cero porque está en el denominador).

\[2 - y > 0 \Rightarrow 2 > y \Rightarrow y < 2\]

Debemos encontrar la intersección de \(y \ge -9/2\) y \(y < 2\).

\[-\frac{9}{2} \le y < 2\]

El dominio en notación de intervalo es:

\[\text{Dominio: } [-\frac{9}{2}, 2)\]

Composición de Funciones

Para los problemas 33 – 36, calcula \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) \) y \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) \) para cada par de funciones dadas.

Solución

a) Cálculo de \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)

Sustituimos g(x) en f(x):

\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{6 + 7x})\]\[= 4(\sqrt{6 + 7x}) - 1 = 4\sqrt{6 + 7x} - 1\]

b) Cálculo de \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

Sustituimos f(x) en g(x):

\[(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4x-1)\]\[= \sqrt{6 + 7(4x-1)} = \sqrt{6 + 28x - 7}\]\[= \sqrt{28x - 1}\]

Solución

a) Cálculo de \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)

\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 14x)\]\[= 5(x^2 - 14x) + 2 = 5x^2 - 70x + 2\]

b) Cálculo de \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

\[(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(5x+2)\]\[= (5x+2)^2 - 14(5x+2)\]\[= (25x^2 + 20x + 4) - (70x + 28)\]\[= 25x^2 - 50x - 24\]

Solución

a) Cálculo de \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)

Notemos que \(f(x) = (x-1)^2\). Esto puede simplificar el cálculo.

\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(8 - 3x^2)\]\[= (8 - 3x^2 - 1)^2 = (7 - 3x^2)^2\]\[= 49 - 42x^2 + 9x^4\]

b) Cálculo de \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

\[(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 2x + 1)\]\[= 8 - 3(x^2 - 2x + 1)^2\]

Podemos dejarlo así o expandirlo:

\[= 8 - 3((x-1)^2)^2 = 8 - 3(x-1)^4\]

Solución

a) Cálculo de \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\)

\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{5 + x^2})\]\[= (\sqrt{5 + x^2})^2 + 3\]\[= (5 + x^2) + 3 = x^2 + 8\]

b) Cálculo de \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

\[(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 3)\]\[= \sqrt{5 + (x^2 + 3)^2}\]

Podemos dejar la expresión así, ya que expandirla no la simplifica significativamente.

Solución

El dominio se restringe por los valores de z que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero para encontrar dichos valores.

\[z^3 + 10z^2 + 9z = 0\]

Factorizamos el máximo común divisor, z:

\[z(z^2 + 10z + 9) = 0\]

Ahora factorizamos el trinomio cuadrático:

\[z(z+1)(z+9) = 0\]

Las raíces son z = 0, z = -1, y z = -9. Debemos excluir estos tres valores del dominio.

\[\text{Dominio: } (-\infty, -9) \cup (-9, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)\]

Solución

Buscamos los valores de t que hacen cero el denominador.

\[7 - t - 4t^2 = 0\]

Reordenamos y multiplicamos por -1 para facilitar el uso de la fórmula cuadrática:

\[4t^2 + t - 7 = 0\]

Aplicamos la fórmula cuadrática con a=4, b=1, c=-7:

\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(4)(-7)}}{2(4)}\]\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 112}}{8}\]\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{113}}{8}\]

El dominio es todos los números reales excepto estos dos valores.

\[\text{Dominio: Todos los números reales excepto } t = \frac{-1 \pm \sqrt{113}}{8}\]

Solución

El radicando debe ser mayor o igual a cero.

\[x^4 - x^3 - 20x^2 \ge 0\]

Factorizamos \(x^2\):

\[x^2(x^2 - x - 20) \ge 0\]

Factorizamos el trinomio:

\[x^2(x-5)(x+4) \ge 0\]

Las raíces son x = -4, x = 0, y x = 5. El término \(x^2\) es siempre no negativo, por lo que no afectará el signo de la desigualdad, pero debemos recordar que x=0 es una solución válida. Analizamos los intervalos para \((x-5)(x+4) \ge 0\):

• Intervalo \((-\infty, -4]\): Si x = -5, \((-)(-)\) = Positivo. Sí cumple.
• Intervalo \([-4, 5]\): Si x = 1, \((-)(+)\) = Negativo. No cumple. (Excepto en x=0, donde la expresión es 0).
• Intervalo \([5, \infty)\): Si x = 6, \((+)(+)\) = Positivo. Sí cumple.

El dominio son los intervalos donde la expresión es positiva, más el punto x=0 donde es cero.

\[\text{Dominio: } (-\infty, -4] \cup \{0\} \cup [5, \infty)\]

Solución

El radicando en el denominador debe ser estrictamente positivo.

\[t^3 - t^2 - 8t > 0\]

Factorizamos t:

\[t(t^2 - t - 8) > 0\]

Las raíces de \(t^2 - t - 8 = 0\) son \(t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(-8)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}\). Aproximadamente -2.37 y 3.37.
Las raíces del polinomio cúbico son t=0, \(t \approx -2.37\), y \(t \approx 3.37\). Probamos los intervalos:

• Intervalo \((-\infty, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})\): Si t=-3, \(-(+)\) = Negativo. No cumple.
• Intervalo \((\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, 0)\): Si t=-1, \(-(-)\) = Positivo. Sí cumple.
• Intervalo \((0, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})\): Si t=1, \+(-)\) = Negativo. No cumple.
• Intervalo \((\frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \infty)\): Si t=4, \+(+)\) = Positivo. Sí cumple.

\[\text{Dominio: } \left(\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, 0\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \infty\right)\]

Solución

Debemos cumplir dos condiciones simultáneamente.

Condición 1 (denominador):

\[x - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9\]

Condición 2 (raíz cuadrada):

\[x^2 - 36 \ge 0 \Rightarrow (x-6)(x+6) \ge 0\]

Esta desigualdad se cumple en los intervalos \((-\infty, -6]\) y \([6, \infty)\).

Ahora, combinamos ambas condiciones. Tomamos los intervalos de la condición 2 y nos aseguramos de que x no sea 9. El valor 9 se encuentra en el intervalo \([6, \infty)\), por lo que debemos excluirlo.

\[\text{Dominio: } (-\infty, -6] \cup [6, 9) \cup (9, \infty)\]

Solución

Analizamos el dominio de cada término por separado.

Primer término \(\sqrt{y^2+1}\): El radicando \(y^2+1\) es siempre mayor o igual a 1 para cualquier y real. Por lo tanto, no hay restricciones para este término.

Segundo término \(\sqrt[3]{1-y}\): Las raíces cúbicas (y cualquier raíz de índice impar) están definidas para todos los números reales, positivos, negativos o cero. Por lo tanto, no hay restricciones para este término.

Dado que no hay restricciones en ninguna parte de la función, el dominio es el conjunto de todos los números reales.

\[\text{Dominio: } (-\infty, \infty)\]