División de un Segmento En Una Razón Dada - Ejemplos

Bienvenidos nuevamente a un tema fundamental de la Geometría Analítica. Si alguna vez te has preguntado cómo encontrar las coordenadas exactas de un punto que divide a una carretera, un cable o una recta en dos partes proporcionales, estás en el lugar correcto.

Hoy no solo aprenderemos la fórmula; entenderemos la lógica detrás de ella. Vamos a desglosar paso a paso la división de un segmento en una razón dada, un concepto que une el álgebra con la geometría y que es la base para entender temas más avanzados como los centros de gravedad en física.

¿Qué es la División de un Segmento en una Razón Dada?

Imagina que tienes un segmento de recta con dos extremos, \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\). Si colocamos un tercer punto \(P(x, y)\) sobre esa línea, este punto dividirá al segmento original en dos partes.

La comparación (división) entre la longitud de la primera parte y la longitud de la segunda parte se llama razón y se denota con la letra \(r\).

Hasta aquí suena sencillo, pero hay un detalle que suele confundir a los estudiantes y que vamos a aclarar ahora mismo:

Obtención de la Fórmula: Deducción Paso a Paso

Para no ser "robots" que solo aplican fórmulas, vamos a ver de dónde sale. Usaremos el Teorema de Tales (semejanza de triángulos) para demostrarlo. Observa la siguiente gráfica:

Analicemos la proyección en el plano cartesiano:

Si proyectamos las coordenadas sobre los ejes \(x\) e \(y\), se forman triángulos semejantes. Por la propiedad de proporcionalidad, la razón entre las distancias inclinadas es igual a la razón entre sus proyecciones horizontales y verticales.

Centrémonos en el eje \(x\) (abscisas). La relación es:

\[ r = \frac{P_1P}{PP_2} = \frac{A_1A}{AA_2} \]

Recordando el concepto de distancia dirigida (posición final menos posición inicial):

• Distancia \(A_1A = x - x_1\)
• Distancia \(AA_2 = x_2 - x\)

Sustituyendo esto en la ecuación de la razón:

\[ r = \frac{x - x_1}{x_2 - x} \]

Nuestro objetivo es encontrar \(x\). Así que, si recuerdas tus clases de álgebra básica (o si necesitas repasar cómo despejar fórmulas), procedemos así:

1. Pasamos el denominador multiplicando al lado izquierdo:

\[ r(x_2 - x) = x - x_1 \]

2. Desarrollamos la multiplicación:

\[ rx_2 - rx = x - x_1 \]

3. Agrupamos los términos que tienen \(x\) en un lado y los que no, en el otro:

\[ rx_2 + x_1 = x + rx \]

4. Factorizamos \(x\) (factor común):

\[ x_1 + rx_2 = x(1 + r) \]

5. Finalmente, despejamos \(x\):

\[ x = \frac{x_1 + rx_2}{1 + r} \]

¡Eureka! Hemos encontrado la fórmula para la coordenada \(x\). Para la coordenada \(y\), el proceso es idéntico geométricamente, resultando en:

\[ y = \frac{y_1 + ry_2}{1 + r} \]

Existe una única condición matemática importante para que esto no "explote":

\[ r \neq -1 \]

(Porque si \(r = -1\), tendríamos una división por cero).

Resumen de Fórmulas

El Caso Especial: Fórmula del Punto Medio

Muchos ejercicios te pedirán simplemente el "punto medio". Esto es un caso particular donde el punto \(P\) está exactamente a la mitad. Por lo tanto, la distancia \(P_1P\) es igual a \(PP_2\), lo que significa que:

\[ r = \frac{P_1P}{PP_2} = 1 \]

Si sustituimos \(r=1\) en nuestras fórmulas generales, obtenemos un promedio simple:

\[ x_{pm} = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_{pm} = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

5 Ejemplos Resueltos de División de un Segmento

La mejor forma de aprender matemáticas es "arrastrando el lápiz". Vamos a resolver 5 casos diferentes para cubrir cualquier tipo de pregunta que te puedan hacer en un examen.

Solución:

Identificamos nuestros datos:

• \(P_1 (A): x_1 = 5, y_1 = 3\)
• \(P_2 (B): x_2 = -2, y_2 = 8\)
• Razón \(r = 3/4 = 0.75\)

Paso 1: Calcular \(x\)

\[ x = \frac{5 + (\frac{3}{4})(-2)}{1 + \frac{3}{4}} \]
\[ x = \frac{5 - \frac{6}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{\frac{20}{4} - \frac{6}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{\frac{14}{4}}{\frac{7}{4}} \]

Aplicando la ley del sándwich (o extremos por extremos):

\[ x = \frac{14 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{14}{7} = 2 \]

Paso 2: Calcular \(y\)

\[ y = \frac{3 + (\frac{3}{4})(8)}{1 + \frac{3}{4}} \]
\[ y = \frac{3 + \frac{24}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{3 + 6}{1.75} = \frac{9}{1.75} \approx 5.14 \]

Resultado: El punto es \(P(2, 5.14)\).

Solución:

Este es un problema de Punto Medio disfrazado. El centro siempre está a la mitad del diámetro. Por lo tanto, \(r=1\).

Usamos la fórmula simplificada:

\[ x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ y = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Resultado: El centro es \(C(4, 2)\).

Solución:

Datos: \(x_1 = -2, y_1 = 5\) y \(x_2 = 10, y_2 = -2\).

Para la abscisa (x):

\[ x = \frac{-2 + (\frac{2}{3})(10)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-2 + \frac{20}{3}}{\frac{5}{3}} \]
\[ x = \frac{\frac{-6+20}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{14}{5} = 2.8 \]

Para la ordenada (y):

\[ y = \frac{5 + (\frac{2}{3})(-2)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5 - \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} \]
\[ y = \frac{\frac{15-4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{11}{5} = 2.2 \]

Resultado: \(P(2.8, 2.2)\).

Solución:

¡Ojo aquí! Como \(r = -3\), esperamos que el punto \(P\) esté fuera del segmento. Aplicamos la fórmula con mucho cuidado con los signos.

Cálculo de x:

\[ x = \frac{x_1 + r x_2}{1 + r} = \frac{-4 + (-3)(2)}{1 + (-3)} \]
\[ x = \frac{-4 - 6}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5 \]

Cálculo de y:

\[ y = \frac{y_1 + r y_2}{1 + r} = \frac{2 + (-3)(-1)}{1 + (-3)} \]
\[ y = \frac{2 + 3}{-2} = \frac{5}{-2} = -2.5 \]

Resultado: El punto es \(P(5, -2.5)\). Efectivamente, está fuera del segmento original.

Solución:

Aquí la incógnita es \(r\). Podemos usar cualquiera de las dos fórmulas (\(x\) o \(y\)) para despejarla. Usaremos la de \(x\).

\[ x = \frac{x_1 + r x_2}{1 + r} \]

Sustituimos los valores conocidos (\(x=2, x_1=0, x_2=5\)):

\[ 2 = \frac{0 + r(5)}{1 + r} \]

Despejamos \(r\):

\[ 2(1 + r) = 5r \]
\[ 2 + 2r = 5r \]
\[ 2 = 5r - 2r \]
\[ 2 = 3r \Rightarrow r = \frac{2}{3} \]

Resultado: La razón es \(r = 2/3\). (Puedes comprobarlo con la fórmula de \(y\), te dará lo mismo).

Ejercicios Propuestos para Practicar

Para dominar este tema, necesitas practicar. Intenta resolver estos 5 problemas adicionales. Si completas estos, habrás resuelto un total de 10 ejemplos de división de un segmento.