Ecuación de la Elipse con Centro en el Origen

La forma de la elipse juega un papel estelar en el universo. No es casualidad que las Leyes de Kepler demostraran que los planetas no giran en círculos perfectos, sino en órbitas elípticas. Pero, ¿qué es exactamente una elipse y cómo se "domestica" matemáticamente?

En este artículo, diseñado para ser la guía definitiva de Geometría Analítica, aprenderás desde cero a identificar, calcular y graficar la ecuación de la elipse con centro en el origen.

¿Qué es una Elipse? Definición Geométrica

Imagina que clavas dos tachuelas en una mesa y atas un hilo holgado entre ellas. Si estiras el hilo con un lápiz y lo mueves alrededor, dibujarás una elipse. Esas tachuelas son los Focos.

Elementos y Fórmulas de la Elipse (Formulario)

Para dominar la elipse, necesitas entender sus tres protagonistas principales. Memoriza esto, porque es la clave de todo:

• a: Distancia del centro al Vértice (es la mitad del eje mayor). ¡Siempre es el valor más grande!
• b: Distancia del centro al extremo del eje menor.
• c: Distancia del centro al Foco.

Existe una "regla de oro" que conecta estas tres variables (muy parecida a Pitágoras):

\[ a^2 = b^2 + c^2 \]

1. Elipse Horizontal

El eje mayor coincide con el eje X. Observa que el valor \( a^2 \) está debajo de la \( x \).

Ecuación Canónica

Elementos:

• Vértices: \( V(\pm a, 0) \)
• Focos: \( F(\pm c, 0) \)
• Extremos eje menor: \( B(0, \pm b) \)

2. Elipse Vertical

El eje mayor coincide con el eje Y. Aquí el valor mayor \( a^2 \) está debajo de la \( y \).

Ecuación Canónica

Elementos:

• Vértices: \( V(0, \pm a) \)
• Focos: \( F(0, \pm c) \)
• Extremos eje menor: \( B(\pm b, 0) \)

Fórmulas Comunes (Para ambos casos)

• Lado Recto (Ancho focal):
  \[ LR = \frac{2b^2}{a} \]
• Excentricidad (Qué tan achatada es):
  \[ e = \frac{c}{a} \quad (Siempre \ e < 1) \]

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

La teoría está muy bien, pero la práctica hace al maestro. Vamos a resolver problemas tipo examen, desde lo básico hasta análisis inverso.

Solución:

Nuestro objetivo es llegar a la forma canónica \( \frac{x^2}{?} + \frac{y^2}{?} = 1 \).

Paso 1: Ordenar la ecuación.
Movemos el término independiente al lado derecho:
\[ 9x^2 + 4y^2 = 36 \]

Paso 2: Dividir para igualar a 1.
Dividimos toda la ecuación entre 36:
\[ \frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = \frac{36}{36} \]

Simplificamos las fracciones (\( 9/36 = 1/4 \) y \( 4/36 = 1/9 \)):
\[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \]

Paso 3: Análisis de orientación.
Observa los denominadores: 4 y 9. El número mayor es 9 y está debajo de la Y.
¡Es una Elipse Vertical!

Por tanto:
\[ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 \]
\[ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 \]

Paso 4: Calcular c (distancia focal).
Usamos \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \):
\[ c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \approx 2.23 \]

Paso 5: Elementos Finales.

• Vértices \( V(0, \pm a) \): \( V_1(0, 3) \) y \( V_2(0, -3) \)
• Focos \( F(0, \pm c) \): \( F_1(0, \sqrt{5}) \) y \( F_2(0, -\sqrt{5}) \)
• Extremos menor \( B(\pm b, 0) \): \( B_1(2, 0) \) y \( B_2(-2, 0) \)
• Lado Recto: \( LR = \frac{2(2)^2}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.66 \)
• Excentricidad: \( e = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745 \)

Gráfica:

Solución:

Paso 1: Despejar e Igualar a 1.
\[ 16x^2 + 25y^2 = 400 \]
Dividimos todo entre 400:
\[ \frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1 \]
Simplificando:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \]

Paso 2: Análisis.
El denominador mayor es 25 y está bajo la X. Es una Elipse Horizontal.

• \( a^2 = 25 \rightarrow a = 5 \)
• \( b^2 = 16 \rightarrow b = 4 \)

Paso 3: Calcular c.
\[ c = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \]

Paso 4: Elementos.

• Vértices \( V(\pm 5, 0) \): \( V(5,0), V(-5,0) \)
• Focos \( F(\pm 3, 0) \): \( F(3,0), F(-3,0) \)
• Lado Recto: \( LR = \frac{2(4)^2}{5} = \frac{32}{5} = 6.4 \)
• Excentricidad: \( e = 3/5 = 0.6 \)

Gráfica:

Subiendo la Dificultad: Encontrando la Ecuación

A veces el problema es al revés: te dan los datos y tú debes hallar la fórmula.

Solución:

Paso 1: Identificar Orientación.
Como los Vértices y Focos cambian en la coordenada X (y la Y se mantiene en 0), la elipse está sobre el eje X. Es Horizontal.

Paso 2: Obtener a y c.
Del vértice \( (\pm 5, 0) \) deducimos que \( a = 5 \).
Del foco \( (\pm 3, 0) \) deducimos que \( c = 3 \).

Paso 3: Calcular b.
Usamos la relación fundamental \( a^2 = b^2 + c^2 \), despejando \( b \):
\[ b = \sqrt{a^2 - c^2} \]
\[ b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} \]
\[ b = 4 \]

Paso 4: Sustituir en la fórmula.
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \]

Solución:

Análisis: El foco está en \( (0, 3) \), es decir, sobre el eje Y. Es Vertical.

• Dato del foco: \( c = 3 \).
• Dato del eje mayor: Sabemos que la longitud total es \( 2a \).
  \[ 2a = 10 \Rightarrow a = \frac{10}{2} = 5 \]

Calcular b:
\[ b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4 \]

Ecuación (Vertical):
\[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \]

Solución:

Este problema requiere usar las definiciones.

1. Como es horizontal y el vértice es \( (13,0) \), sabemos que \( a = 13 \).

2. La fórmula de la excentricidad es \( e = \frac{c}{a} \).
Sustituimos lo que tenemos:
\[ \frac{12}{13} = \frac{c}{13} \]
Por simple inspección (o despeje), vemos que \( c = 12 \).

3. Calculamos \( b \):
\[ b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \]

4. Ecuación:
\[ \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1 \]