Ecuación de la Hipérbola con Centro fuera del Origen

El estudio de la Hipérbola suele ser el "jefe final" en los cursos de Geometría Analítica. Si ya dominas la hipérbola con centro en el origen, dar este paso será muy sencillo: la lógica es la misma, solo que ahora nuestro centro se desplaza a unas coordenadas \((h, k)\).

En este artículo definitivo, no solo veremos las fórmulas "crudas", sino que aprenderás a deducir, graficar y transformar ecuaciones generales a su forma canónica con ejercicios paso a paso. ¡Vamos a ello! 🚀

⚡ Fórmulas y Ecuación Canónica de la Hipérbola (h,k)

Para dominar este tema, primero debemos identificar hacia dónde "se abre" la hipérbola. A diferencia de la elipse (donde mirábamos cuál denominador era mayor), aquí el signo manda. El término positivo indica la dirección de apertura.

1. Hipérbola Horizontal

Si el término con \(x\) es positivo, la hipérbola abraza al eje horizontal (paralelo al eje X). Su eje focal es horizontal.

\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]

Elementos Clave:

• Centro: \( C(h,k) \)
• Vértices: \( V(h \pm a, k) \)
• Focos: \( F(h \pm c, k) \)
• Extremos del eje conjugado: \( B(h, k \pm b) \)
• Asíntotas: \( y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h) \)

2. Hipérbola Vertical

Si el término con \(y\) es positivo, la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo (paralelo al eje Y). Su eje focal es vertical.

\[ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \]

Elementos Clave:

• Centro: \( C(h,k) \)
• Vértices: \( V(h, k \pm a) \)
• Focos: \( F(h, k \pm c) \)
• Extremos del eje conjugado: \( B(h \pm b, k) \)
• Asíntotas: \( y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h) \)

🧮 Ecuación General de la Hipérbola

A menudo, los ejercicios no nos dan la ecuación "bonita" (canónica), sino la ecuación general desarrollada e igualada a cero:

\[ Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

¿Cómo identificarla? Muy fácil: Los coeficientes \(A\) y \(C\) (los números que acompañan a \(x^2\) y \(y^2\)) deben tener signos contrarios.

📝 Ejercicios Resueltos de Hipérbola fuera del Origen

La mejor forma de aprender es practicando. Vamos a resolver 5 ejercicios que cubren desde lo básico hasta problemas de examen.

Solución:

Paso 1: Agrupar términos.
Separamos las \(x\) y las \(y\) en paréntesis, y pasamos la constante al lado derecho:

\[ (4x^2 - 16x) - (9y^2 + 18y) = 29 \]

Paso 2: Factorizar coeficientes principales.
Sacamos el 4 de las \(x\) y el -9 de las \(y\). ¡Ojo con el cambio de signo en la \(y\) al factorizar el negativo!

\[ 4(x^2 - 4x) - 9(y^2 + 2y) = 29 \]

Paso 3: Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.
Dividimos el término lineal entre 2 y lo elevamos al cuadrado. Recuerda sumar lo mismo al otro lado (multiplicado por el factor externo).

\[ 4(x^2 - 4x + 4) - 9(y^2 + 2y + 1) = 29 + 4(4) - 9(1) \]
\[ 4(x-2)^2 - 9(y+1)^2 = 29 + 16 - 9 \]
\[ 4(x-2)^2 - 9(y+1)^2 = 36 \]

Paso 4: Igualar a 1.
Dividimos todo entre 36:

\[ \frac{4(x-2)^2}{36} - \frac{9(y+1)^2}{36} = 1 \Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y+1)^2}{4} = 1 \]

Análisis de Elementos:
Como la \(x\) es positiva, es Horizontal.

• \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\)

• \(b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\)

• Centro \(C(h,k) = (2, -1)\)

• Foco: \(c = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3.6\)

Coordenadas:

• Vértices \(V(2 \pm 3, -1) \rightarrow V_1(-1, -1), V_2(5, -1)\)

• Focos \(F(2 \pm 3.6, -1) \rightarrow F_1(-1.6, -1), F_2(5.6, -1)\)

Gráfica:

Solución:

Este ejercicio es interesante porque el término \(y^2\) es el positivo. Sigamos el proceso de completación de cuadrados:

1. Agrupamos (primero las \(y\) porque son positivas):
\[ (9y^2 - 54y) - (4x^2 - 16x) = -29 \]

2. Factorizamos:
\[ 9(y^2 - 6y) - 4(x^2 - 4x) = -29 \]

3. Completamos cuadrados:
\[ 9(y^2 - 6y + 9) - 4(x^2 - 4x + 4) = -29 + 9(9) - 4(4) \]
\[ 9(y-3)^2 - 4(x-2)^2 = -29 + 81 - 16 \]
\[ 9(y-3)^2 - 4(x-2)^2 = 36 \]

4. Dividimos entre 36:
\[ \frac{9(y-3)^2}{36} - \frac{4(x-2)^2}{36} = 1 \Rightarrow \frac{(y-3)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1 \]

Tenemos una Hipérbola Vertical (la \(y\) manda).

• Centro: \(C(2, 3)\)

• \(a^2 = 4 \Rightarrow a=2\)

• \(b^2 = 9 \Rightarrow b=3\)

• Distancia focal \(c = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3.6\)

Coordenadas de los Focos:
Al ser vertical, el cambio es en la coordenada \(k\).
\[ F(h, k \pm c) \rightarrow F(2, 3 \pm \sqrt{13}) \]

Solución:

Este es un problema de construcción inversa. Analicemos las coordenadas:

1. Identificar Orientación:
Observamos que la coordenada \(x\) no cambia (es siempre 2). La variación está en \(y\). Por lo tanto, el eje focal es Vertical.

2. Encontrar el Centro:
El centro es el punto medio entre los vértices (o los focos).
\[ C = \left( \frac{2+2}{2}, \frac{6+(-2)}{2} \right) = (2, 2) \]
Por tanto, \(h=2, k=2\).

3. Calcular \(a\) y \(c\):
• \(a\) es la distancia del centro al vértice: De \(y=2\) a \(y=6\), hay 4 unidades. (\(a=4\)).
• \(c\) es la distancia del centro al foco: De \(y=2\) a \(y=7\), hay 5 unidades. (\(c=5\)).

4. Calcular \(b\):
Usamos Pitágoras \(c^2 = a^2 + b^2\):
\[ 25 = 16 + b^2 \Rightarrow b^2 = 9 \]

5. Sustituir en la fórmula vertical:
\[ \frac{(y-2)^2}{16} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1 \]

Solución:

Primero identificamos los elementos:

• Es Horizontal (la \(x\) es positiva).

• \(a^2=16 \Rightarrow a=4\)

• \(b^2=9 \Rightarrow b=3\)

• Centro \(C(-1, 2)\)

La fórmula para las asíntotas de una hipérbola horizontal es:
\[ y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h) \]

Sustituimos:
\[ y - 2 = \pm \frac{3}{4}(x + 1) \]

Esto nos da dos ecuaciones. Desarrollemos la primera (con signo positivo):
\[ 4(y - 2) = 3(x + 1) \]
\[ 4y - 8 = 3x + 3 \Rightarrow 3x - 4y + 11 = 0 \]

Ahora con signo negativo:
\[ 4(y - 2) = -3(x + 1) \]
\[ 4y - 8 = -3x - 3 \Rightarrow 3x + 4y - 5 = 0 \]

Solución:

Traduzcamos el lenguaje técnico a variables matemáticas:

• "Cintura más estrecha" se refiere a la longitud del Eje Transverso (\(2a\)).
  \[ 2a = 10 \Rightarrow a = 5 \]
• "Distancia entre focos" es \(2c\).
  \[ 2c = 26 \Rightarrow c = 13 \]
• Centro \(C(4,5)\).

Necesitamos \(b\) para la ecuación. Despejamos de la fórmula \(c^2 = a^2 + b^2\):
\[ 169 = 25 + b^2 \Rightarrow b^2 = 144 \]

Al ser eje horizontal, la ecuación queda:
\[ \frac{(x-4)^2}{25} - \frac{(y-5)^2}{144} = 1 \]

Solución:

Estos parámetros nos ayudan a entender qué tan "abierta" o "cerrada" es la hipérbola. Primero extraemos los valores básicos:

1. Identificar parámetros:

• \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)

• \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)

2. Calcular \(c\) (Distancia focal):
Usamos Pitágoras:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4 \]

3. Cálculo de la Excentricidad (\(e\)):
La excentricidad indica la curvatura. En la hipérbola siempre debe ser mayor a 1.
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{41}}{5} \approx 1.28 \]
Como \(1.28 > 1\), el dato es coherente.

4. Cálculo del Lado Recto (\(LR\)):
Es la cuerda que pasa por el foco, perpendicular al eje focal.
\[ LR = \frac{2b^2}{a} \]
Sustituimos:
\[ LR = \frac{2(16)}{5} = \frac{32}{5} = 6.4 \]
Esto significa que el ancho de la hipérbola a la altura del foco es de 6.4 unidades.

Solución:

Este es un problema clásico de examen donde debemos conectar los puntos.

1. Determinar Orientación:
Comparamos el Centro \((-2, 1)\) con el Foco \((-2, 11)\).
La coordenada \(x\) no cambia, pero la \(y\) sí. Esto nos grita que es una Hipérbola Vertical.

2. Calcular \(c\):
La distancia del Centro al Foco es \(c\).
\[ c = |11 - 1| = 10 \]

3. Despejar \(a\) de la Excentricidad:
Sabemos que \(e = \frac{c}{a}\). Sustituimos los datos que tenemos:
\[ \frac{5}{4} = \frac{10}{a} \]
Despejamos \(a\):
\[ 5a = 40 \Rightarrow a = \frac{40}{5} = 8 \]

4. Calcular \(b\):
Usamos la relación fundamental \(c^2 = a^2 + b^2\):
\[ 10^2 = 8^2 + b^2 \]
\[ 100 = 64 + b^2 \Rightarrow b^2 = 36 \]

5. Armar la Ecuación:
Al ser vertical, el término positivo es el de \(y\).
\[ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \]
Sustituyendo \(C(-2, 1)\), \(a^2=64\) y \(b^2=36\):
\[ \frac{(y-1)^2}{64} - \frac{(x+2)^2}{36} = 1 \]

📝 Ejercicios Propuestos

¿Listo para ponerte a prueba? Resuelve los siguientes problemas antes de ver la solución.