Teorema de Thévenin: Circuitos Equivalentes y Ejercicios Resueltos Paso a Paso

¡Qué tal amigos! El día de hoy abordaremos una de las herramientas más poderosas, elegantes y utilizadas en toda la ingeniería eléctrica y la física de circuitos: el Teorema de Thévenin. ¿Alguna vez te has enfrentado a un circuito gigantesco lleno de mallas, múltiples fuentes de voltaje y decenas de resistencias, donde únicamente necesitas calcular la corriente en una pequeña resistencia de carga que cambia constantemente de valor? Resolver las leyes de Kirchhoff una y otra vez sería una auténtica pesadilla. Afortunadamente, el ingeniero francés Léon Charles Thévenin descubrió que cualquier circuito lineal, sin importar lo complejo que sea, puede reducirse a una única fuente de voltaje en serie con una sola resistencia. En este artículo aprenderás a calcular \( V_{th} \) y \( R_{th} \), cómo manejar fuentes dependientes, el puente de Wheatstone y 9 ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué establece el Teorema de Thévenin?

Formulado originalmente por Hermann von Helmholtz en 1853 y redescubierto de forma independiente por Léon Charles Thévenin en 1883, este teorema establece una equivalencia eléctrica universal para redes bilaterales lineales.

Procedimiento General para Obtener el Equivalente de Thévenin

Paso 1: Identificar y Desconectar la Resistencia de Carga (\( R_L \))

Retiramos temporalmente el componente o rama de interés dejando dos bornes al descubierto, llamados terminales \( A \) y \( B \).

Paso 2: Calcular el Voltaje de Thévenin (\( V_{th} = V_{oc} \))

Calculamos la diferencia de potencial que aparece de manera natural entre los terminales abiertos \( A \) y \( B \) mediante análisis de nodos, mallas o divisores de tensión.

Paso 3: Calcular la Resistencia de Thévenin (\( R_{th} \))

Para apagar las fuentes independientes aplicamos las reglas universales de redes eléctricas:

• Fuentes de tensión independientes: Se sustituyen por un cortocircuito (un cable ideal con \( V = 0\,\text{V} \)).
• Fuentes de corriente independientes: Se sustituyen por un circuito abierto (una rama cortada con \( I = 0\,\text{A} \)).

4. Puente de Wheatstone Desbalanceado

El Teorema de Thévenin brilla de forma espectacular al analizar puentes de medición como el Puente de Wheatstone. Desconectar el galvanómetro o detector central permite hallar el Thévenin del puente en segundos sin necesidad de plantear matrices 3x3 de mallas.

5. Equivalente Dual de Norton y Máxima Transferencia de Potencia

El Teorema de Norton es el dual directo de Thévenin: modela la red como una fuente de corriente \( I_N = V_{th} / R_{th} \) en paralelo con la misma resistencia \( R_N = R_{th} \). Además, cuando conectamos una carga \( R_L \), la máxima potencia eléctrica se transfiere cuando la carga iguala a la resistencia interna: \( R_L = R_{th} \).

⭐ Formulario de Teorema de Thévenin y Circuitos

Conserva este formulario de referencia rápida para resolver tus problemas de circuitos:

Voltaje de Thévenin: Tensión entre bornes a circuito abierto sin corriente saliente.

Resistencia de Thévenin: Resistencia vista desde los bornes con fuentes independientes desactivadas.

Corriente y Voltaje en la Carga Conectada: Aplicación directa de la Ley de Ohm al lazo serie equivalente.

Equivalente de Norton: Corriente de cortocircuito con resistencia Norton en paralelo.

Máxima Transferencia de Potencia: Potencia máxima entregada a la carga en régimen de continua.

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Solución:

Datos:

• Fuente independiente: \( V_s = 36\,\text{V} \)
• Resistencias: \( R_1 = 6\,\Omega \), \( R_2 = 12\,\Omega \)
• Terminales: En paralelo con \( R_2 \)

Fórmula:

\[ V_{th} = V_s \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right), \quad R_{th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \]

Sustitución y Cálculo:

1. Voltaje de Thévenin (circuito abierto):

\[ V_{th} = 36 \left( \frac{12}{6 + 12} \right) = 36 \left( \frac{12}{18} \right) = 36 \times \frac{2}{3} = 24.0\,\text{V} \]

2. Resistencia de Thévenin (cortocircuitando la fuente de 36 V):

\[ R_{th} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4.0\,\Omega \]

Resultado:

El circuito equivalente de Thévenin consta de una fuente \( V_{th} = 24.0\,\text{V} \) en serie con una resistencia \( R_{th} = 4.0\,\Omega \).

Solución:

Datos:

• \( V_{th} = 24.0\,\text{V} \)
• \( R_{th} = 4.0\,\Omega \)
• Resistencia de carga: \( R_L = 8.0\,\Omega \)

Fórmula:

\[ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}, \quad P_L = I_L^2 \cdot R_L \]

Sustitución y Cálculo:

\[ I_L = \frac{24.0}{4.0 + 8.0} = \frac{24.0}{12.0} = 2.0\,\text{A} \]

\[ P_L = (2.0)^2 \times 8.0 = 4.0 \times 8.0 = 32.0\,\text{W} \]

Resultado:

Por la carga circula una corriente de 2.0 A disipando una potencia de 32.0 W.

Solución:

Datos:

• Fuente de corriente: \( I_s = 3\,\text{A} \)
• Fuente de voltaje: \( V_s = 15\,\text{V} \)
• Resistencias: \( R_1 = 10\,\Omega \), \( R_2 = 5\,\Omega \)

Fórmula y Análisis:

A circuito abierto no fluye corriente hacia el exterior a través de \( R_2 \) (\( I_{R2} = 0 \)). Por tanto, la corriente de 3 A circula íntegramente por \( R_1 \).

\[ V_{\text{nodo}} = I_s \cdot R_1 = (3\,\text{A})(10\,\Omega) = 30.0\,\text{V} \]

\[ V_{th} = V_{\text{nodo}} + V_s = 30.0 + 15.0 = 45.0\,\text{V} \]

Para \( R_{th} \): apagamos la fuente de corriente (abriendo la rama) y la de tensión (cortocircuito):

\[ R_{th} = R_1 + R_2 = 10 + 5 = 15.0\,\Omega \]

Resultado:

\( V_{th} = 45.0\,\text{V} \) y \( R_{th} = 15.0\,\Omega \).

Solución:

Datos:

• \( V_{th} = 60.0\,\text{V} \)
• \( R_{th} = 15.0\,\Omega \)

Fórmula:

Para máxima potencia transferida:

\[ R_L = R_{th} \]

\[ P_{\max} = \frac{V_{th}^2}{4 R_{th}} \]

Sustitución y Cálculo:

\[ R_L = 15.0\,\Omega \]

\[ P_{\max} = \frac{(60.0)^2}{4(15.0)} = \frac{3600}{60.0} = 60.0\,\text{W} \]

Resultado:

La carga óptima es \( R_L = 15.0\,\Omega \) y la potencia máxima transferida es de 60.0 W.

Solución:

Datos:

• Tensión de alimentación: \( V = 12.0\,\text{V} \)
• Rama izquierda: \( R_1 = 100\,\Omega \), \( R_2 = 200\,\Omega \)
• Rama derecha: \( R_3 = 300\,\Omega \), \( R_4 = 400\,\Omega \)

Fórmula:

Calculamos los potenciales nodales respecto a tierra mediante divisores de tensión:

\[ V_C = V \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right), \quad V_D = V \left( \frac{R_4}{R_3 + R_4} \right) \]

\[ V_{th} = V_C - V_D \]

Sustitución y Cálculo:

\[ V_C = 12 \left( \frac{200}{100 + 200} \right) = 12 \left( \frac{200}{300} \right) = 8.00\,\text{V} \]

\[ V_D = 12 \left( \frac{400}{300 + 400} \right) = 12 \left( \frac{400}{700} \right) = \frac{48}{7} \approx 6.857\,\text{V} \]

\[ V_{th} = 8.00 - 6.857 = 1.143\,\text{V} \]

Resultado:

El voltaje de Thévenin en bornes del detector es de 1.143 V.

Solución:

Datos:

• \( R_1 = 100\,\Omega \), \( R_2 = 200\,\Omega \), \( R_3 = 300\,\Omega \), \( R_4 = 400\,\Omega \)
• Fuente de 12 V reemplazada por cortocircuito a tierra común.

Fórmula:

Al cortocircuitar la fuente, las ramas superior e inferior quedan unidas en paralelo:

\[ R_{th} = (R_1 \parallel R_2) + (R_3 \parallel R_4) \]

Sustitución y Cálculo:

\[ R_1 \parallel R_2 = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} = 66.67\,\Omega \]

\[ R_3 \parallel R_4 = \frac{300 \times 400}{300 + 400} = \frac{120000}{700} = 171.43\,\Omega \]

\[ R_{th} = 66.67 + 171.43 = 238.10\,\Omega \]

Resultado:

La resistencia de Thévenin del puente es de 238.10 Ω.

Solución:

Datos:

• \( V_{th} = 45.0\,\text{V} \)
• \( R_{th} = 15.0\,\Omega \)

Fórmula:

\[ I_N = \frac{V_{th}}{R_{th}}, \quad R_N = R_{th} \]

Sustitución:

\[ I_N = \frac{45.0\,\text{V}}{15.0\,\Omega} = 3.0\,\text{A} \]

\[ R_N = 15.0\,\Omega \]

Resultado:

El equivalente de Norton está formado por una fuente de corriente de 3.0 A en paralelo con una resistencia de 15.0 Ω.

Solución:

Datos:

• \( V_1 = 20\,\text{V} \), \( R_1 = 4\,\Omega \)
• \( V_2 = 10\,\text{V} \), \( R_2 = 6\,\Omega \)
• Resistencia de interés: \( R_3 = 12\,\Omega \) desconectada para hallar circuito abierto.

Fórmula y Análisis:

Al retirar \( R_3 \), la corriente de malla que fluye de \( V_1 \) hacia \( V_2 \) a través de \( R_1 \) y \( R_2 \) es:

\[ I = \frac{V_1 - V_2}{R_1 + R_2} = \frac{20 - 10}{4 + 6} = \frac{10}{10} = 1.0\,\text{A} \]

El potencial en el nodo central respecto a la referencia común es:

\[ V_{th} = V_1 - I \cdot R_1 = 20 - (1.0)(4) = 16.0\,\text{V} \]

Para la resistencia equivalente, apagando ambas fuentes de tensión:

\[ R_{th} = R_1 \parallel R_2 = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4\,\Omega \]

Resultado:

\( V_{th} = 16.0\,\text{V} \) y \( R_{th} = 2.4\,\Omega \).

Solución:

Datos:

• \( V_s = 36\,\text{V} \), \( R_1 = 6\,\Omega \), \( R_2 = 12\,\Omega \)
• Bornes en paralelo con \( R_2 \) cortocircuitados con un conductor ideal.

Análisis y Fórmula:

Al conectar un cortocircuito en los terminales de \( R_2 \), toda la corriente se desvía por el cable sin pasar por \( R_2 \) (resistencia en paralelo nula). Por tanto:

\[ I_{sc} = \frac{V_s}{R_1} = \frac{36.0\,\text{V}}{6.0\,\Omega} = 6.0\,\text{A} \]

Aplicando la relación fundamental de Thévenin-Norton:

\[ R_{th} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}} = \frac{24.0\,\text{V}}{6.0\,\text{A}} = 4.0\,\Omega \]

Resultado:

La corriente de cortocircuito es \( I_{sc} = 6.0\,\text{A} \), confirmando exactamente \( R_{th} = 4.0\,\Omega \).

Problemas Prácticos de Autoevaluación

Preguntas Frecuentes sobre el Teorema de Thévenin

1. ¿Por qué el Teorema de Thévenin solo es válido para circuitos lineales?
Porque se fundamenta estrictamente en el principio de superposición. Los elementos no lineales (como diodos semiconductores, transistores en saturación o varistores) no presentan una relación de proporcionalidad directa entre corriente y voltaje, impidiendo un modelo resistivo fijo.

2. ¿Cómo se calcula Rth si el circuito contiene fuentes dependientes?
Cuando hay fuentes controladas (dependientes), no se pueden apagar arbitrariamente. Se apagan únicamente las fuentes independientes, se conecta una fuente de prueba auxiliar externa (típicamente \( V_0 = 1\,\text{V} \) o \( I_0 = 1\,\text{A} \)) en los bornes y se calcula la impedancia como \( R_{th} = V_0 / I_0 \).

3. ¿Qué rendimiento eléctrico se obtiene bajo máxima transferencia de potencia?
Bajo acoplamiento óptimo (\( R_L = R_{th} \)), exactamente la mitad de la potencia generada se disipa en la resistencia interna \( R_{th} \) y la otra mitad en la carga útil. Por lo tanto, la eficiencia es del 50%. Es ideal para comunicaciones y señales, pero no para redes eléctricas de potencia.