Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen

Bienvenidos de nuevo a Fisimat. En el vasto universo de la Geometría Analítica, pocas figuras son tan elegantes y fundamentales como la circunferencia. Hoy nos centraremos en su caso más puro y sencillo: la Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen.

Si estás buscando cómo pasar de una fórmula a una gráfica, o tienes ejercicios de tarea que no sabes cómo atacar, has llegado al lugar indicado. Vamos a desglosar la teoría y a resolver 10 ejercicios paso a paso.

Definición de la Circunferencia

Antes de ver números y letras, entendamos qué estamos calculando. No es solo un círculo dibujado; es un conjunto de puntos con una regla estricta.

Visualmente, esto se ve así:

Tipos de Ecuaciones de la Circunferencia

Dependiendo de dónde esté ubicado el centro de la circunferencia, la fórmula cambia ligeramente de "disfraz". Es vital que sepas distinguirlas:

1. Ecuación Ordinaria (Fuera del Origen)

Se usa cuando el centro está en cualquier punto \(C(h, k)\). Su fórmula es:

\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]

2. Ecuación General

Es cuando desarrollamos los binomios y lo igualamos a cero. Tiene la forma:

\[ Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

(Nota: En la circunferencia, siempre \(A = C\)).

3. Ecuación Canónica (Centro en el Origen) ⭐

Esta es la protagonista de nuestro artículo. Ocurre cuando el centro está exactamente en las coordenadas \((0,0)\). Si sustituimos \(h=0\) y \(k=0\) en la ecuación ordinaria, obtenemos la elegante forma canónica:

Análisis del Radio

Antes de calcular, analiza el valor de \(r^2\). Matemáticamente, podemos deducir si la circunferencia existe o no:

• ✅ Si \(r^2 > 0\): La circunferencia es Real (existe y se puede dibujar).
• ❌ Si \(r^2 < 0\): La circunferencia es Imaginaria (no existe en el plano real, es imposible).
• ⚫ Si \(r^2 = 0\): La circunferencia se degenera en un solo Punto.

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Vamos a aplicar la fórmula canónica \(x^2 + y^2 = r^2\) en diferentes situaciones. Desde lo más básico hasta problemas de examen.

Solución:

Este es el caso más directo. Solo necesitamos sustituir \(r\) en la fórmula.

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

Sustituimos \(r=5\):

\[ x^2 + y^2 = (5)^2 \]

Resultado:

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

Solución:

Primero obtenemos la forma canónica:

\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 9 \]

Para llegar a la Forma General, la regla de oro es: Todo debe estar igualado a cero. Así que pasamos el 9 al lado izquierdo restando.

Resultado:

\[ x^2 + y^2 - 9 = 0 \]

Solución:

No te asustes con las fracciones. Aplicamos la misma lógica, recordando las leyes de los exponentes para elevar una fracción.

\[ x^2 + y^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 \]

Elevamos numerador y denominador por separado (\(3^2=9\) y \(4^2=16\)):

Resultado:

\[ x^2 + y^2 = \frac{9}{16} \]

Solución:

En este caso no nos dan el radio, pero nos dan una pista: un punto \(x, y\). Usamos la ecuación para despejar \(r^2\).

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

Sustituimos \(x=-3\) y \(y=4\):

\[ (-3)^2 + (4)^2 = r^2 \]
\[ 9 + 16 = r^2 \]
\[ 25 = r^2 \]

Como ya sabemos que \(r^2 = 25\), ya podemos escribir la ecuación completa.

Resultado:

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

(Nota: El radio es \(\sqrt{25} = 5\)).

Solución:

Comparamos la ecuación dada con la fórmula base:

• Base: \(x^2 + y^2 = r^2\)
• Dada: \(x^2 + y^2 = 100\)

Esto implica que \(r^2 = 100\). Para obtener el radio, sacamos la raíz cuadrada:

\[ r = \sqrt{100} = 10 \]

Y sabemos que el diámetro es dos veces el radio (\(D = 2r\)):

\[ D = 2(10) = 20 \]

Resultado: Radio = 10u, Diámetro = 20u.

Solución:

A veces el dato del radio no es directo, sino que está "escondido" en el área. Recordamos la fórmula del área de un círculo:

\[ A = \pi \cdot r^2 \]

El problema nos dice que \(A = 64\pi\). Igualamos ambas expresiones:

\[ \pi \cdot r^2 = 64\pi \]

Podemos cancelar \(\pi\) en ambos lados de la ecuación:

\[ r^2 = 64 \]

¡Atención! Para la ecuación de la circunferencia no necesitamos calcular la raíz cuadrada para hallar \(r\) y luego volver a elevarlo al cuadrado. La fórmula canónica nos pide directamente \(r^2\).

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

Sustituyendo el valor que acabamos de encontrar:

Resultado:

\[ x^2 + y^2 = 64 \]

Solución:

Este problema requiere un poco de imaginación visual (o hacer un pequeño bosquejo).

1. El centro está en \((0,0)\).

2. La recta \(x = -6\) es una línea vertical que pasa por el -6 del eje X.

La palabra "tangente" significa que la circunferencia "toca" a la recta en un solo punto sin cortarla. Por lo tanto, la distancia desde el centro \((0,0)\) hasta la recta \(x = -6\) es exactamente el valor del radio.

La distancia de 0 a -6 es 6 unidades (recordemos que las distancias siempre son positivas).

\[ r = 6 \]

Ahora aplicamos la fórmula ordinaria elevando el radio al cuadrado:

\[ x^2 + y^2 = (6)^2 \]

Resultado:

\[ x^2 + y^2 = 36 \]

Solución:

Muchos estudiantes se asustan al ver raíces cuadradas, pero en la geometría analítica suelen ser nuestros aliados porque se simplifican fácil.

Usamos la relación fundamental:

\[ r^2 = x^2 + y^2 \]

Sustituimos las coordenadas del punto \(P\):

\[ r^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{11})^2 \]

Recordamos que una raíz cuadrada elevada al cuadrado se elimina:

\[ r^2 = 5 + 11 \]
\[ r^2 = 16 \]

Ya tenemos el valor de \(r^2\), así que simplemente escribimos la ecuación final.

Resultado:

\[ x^2 + y^2 = 16 \]

Ejercicios Propuestos de Circunferencia en el Origen

¿Listo para poner a prueba lo aprendido? Resuelve los siguientes problemas. Haz clic en la barra para ver si tu respuesta es correcta.