Geometría Analítica

Bienvenido a una de las revoluciones intelectuales más grandes de la historia. 🌍 La geometría analítica es mucho más que una simple rama de las matemáticas; es el puente dorado que conectó dos mundos que, hasta el siglo XVII, habían vivido casi por separado: el mundo de las figuras y formas (Geometría) y el mundo de los números y ecuaciones (Álgebra).

Antes de su invención, los geómetras como Euclides demostraban teoremas con reglas y compases. Por otro lado, los algebristas como Al-Juarismi resolvían ecuaciones. La geometría analítica nos dio un poder extraordinario: la capacidad de describir una figura geométrica (como una línea, un círculo o una elipse) usando una ecuación algebraica, y viceversa, la habilidad de dibujar una ecuación y ver la figura que representa. Este es el lenguaje en el que se programan los videojuegos, se diseñan órbitas de satélites y se crean gráficos por computadora.

En esta guía pilar, construiremos este puente desde sus cimientos. Empezaremos por el escenario donde todo ocurre, el Plano Cartesiano. Luego, desarrollaremos las herramientas para medir y dividir ese espacio. Dominaremos la ecuación de la recta en todas sus formas y, finalmente, nos sumergiremos en la belleza de las secciones cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Abróchate el cinturón.

Índice de Contenido

El Origen: La Mente que Unió Dos Mundos

Toda gran idea tiene un arquitecto. En este caso, el crédito principal se lo lleva un filósofo y matemático francés que, según la leyenda, tuvo una revelación mientras observaba una mosca caminar por el techo de su habitación. Pensó que podría describir la posición de la mosca en cualquier instante usando dos números: su distancia a dos paredes perpendiculares.

René Descartes

1596-1650

En su famoso trabajo "Discurso del Método" (publicado en 1637), Descartes incluyó un apéndice llamado "La Géométrie" donde introdujo formalmente este sistema. Revolucionó las matemáticas al proponer que cualquier problema de geometría podía ser traducido a un problema de álgebra, resuelto algebraicamente, y la solución traducida de vuelta a la geometría. Este sistema de coordenadas, en su honor, se conoce como el Plano Cartesiano.

El Escenario: Sistemas de Coordenadas Rectangulares

Todo en la geometría analítica sucede en el Plano Cartesiano. No podemos empezar a construir sin definir nuestro terreno de juego.

Plano Cartesiano

Un Plano Cartesiano (o sistema de coordenadas rectangulares) es un plano bidimensional formado por la intersección de dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes. El punto donde se cortan se llama origen.

Eje X (Eje de las Abscisas): Es la recta horizontal. Los valores positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda.
Eje Y (Eje de las Ordenadas): Es la recta vertical. Los valores positivos están arriba del origen y los negativos abajo.
Origen (0, 0): Es el punto de intersección de ambos ejes.

La posición de cualquier punto en este plano se describe con un par ordenado \((x, y)\).

Estos ejes dividen el plano en cuatro regiones infinitas llamadas cuadrantes:

Cuadrante I: \(x > 0\), \(y > 0\) (Arriba, Derecha)
Cuadrante II: \(x < 0\), \(y > 0\) (Arriba, Izquierda)
Cuadrante III: \(x < 0\), \(y < 0\) (Abajo, Izquierda)
Cuadrante IV: \(x > 0\), \(y < 0\) (Abajo, Derecha)

Las Herramientas Fundamentales del Plano

Ahora que tenemos nuestro plano, necesitamos herramientas para medir distancias y encontrar posiciones en él. Estas son las fórmulas básicas que usaremos constantemente.

Distancia entre Dos Puntos

¿Cómo medimos la distancia en línea recta entre dos puntos \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\)? La respuesta es una aplicación directa del Teorema de Pitágoras.

Imagina que \(P_1\) y \(P_2\) son los vértices de un triángulo rectángulo. El cateto horizontal (la diferencia en \(x\)) mide \(|x_2 - x_1|\) y el cateto vertical (la diferencia en \(y\)) mide \(|y_2 - y_1|\). La distancia \(d\) es la hipotenusa.

Fórmula de la Distancia entre Dos Puntos

La distancia \(d\) entre dos puntos \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\) viene dada por:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

División de un Segmento en una Razón Dada

A veces no queremos la longitud total del segmento, sino un punto específico \(P_r(x_r, y_r)\) que lo divida en una proporción o razón. Si tenemos el segmento \(P_1P_2\), buscamos un punto \(P_r\) tal que la distancia de \(P_1\) a \(P_r\) sea una fracción \(\frac{m}{n}\) de la distancia de \(P_r\) a \(P_2\). A esto le llamamos la razón \(r = \frac{m}{n}\).

Fórmula de la División de un Segmento en una Razón Dada

Dado un segmento con extremos \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\), las coordenadas del punto \(P_r(x_r, y_r)\) que divide al segmento en la razón \(r = \frac{P_1P_r}{P_rP_2}\) son:

\[ x_r = \frac{x_1 + r \cdot x_2}{1 + r} \quad , \quad y_r = \frac{y_1 + r \cdot y_2}{1 + r} \]

Un caso especial muy importante es el Punto Medio, donde la razón \(r = 1\) (el punto está exactamente a la mitad). La fórmula se simplifica a:

\[ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad , \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

La Recta: El Corazón de la Geometría Analítica

La figura más simple, pero la más fundamental, es la línea recta. En geometría analítica, una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una misma dirección, y su belleza radica en que su ecuación es siempre de primer grado.

Para definir una recta, necesitamos un concepto clave: la pendiente.

Pendiente de una Recta (m)

La pendiente es la medida de la inclinación de una recta. Nos dice cuánto cambia la altura (\(y\)) por cada unidad que nos movemos en la horizontal (\(x\)). Es la "tasa de cambio" de la recta.

Dados dos puntos \(P_1(x_1, y_1)\) y \(P_2(x_2, y_2)\) sobre la recta, la pendiente \(m\) se calcula como:

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Si \(m > 0\), la recta es creciente (sube de izquierda a derecha).
Si \(m < 0\), la recta es decreciente (baja de izquierda a derecha).
Si \(m = 0\), la recta es horizontal (\(y = \text{constante}\)).
Si \(m\) es indefinida (la división es por cero, \(x_1 = x_2\)), la recta es vertical (\(x = \text{constante}\)).

El álgebra nos permite describir la *misma* recta de varias maneras, dependiendo de la información que tengamos. Estas se llaman las "Formas de la Ecuación de la Recta".

1. Forma Punto-Pendiente

Es la forma más directa. Si conoces la pendiente \(m\) y un solo punto \((x_1, y_1)\) por donde pasa, la ecuación es:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

2. Forma Pendiente-Ordenada al Origen (o Forma Canónica)

Esta es la forma más famosa. Es ideal para graficar rápidamente. Si conoces la pendiente \(m\) y el punto donde la recta corta al eje Y, llamado la ordenada al origen \((0, b)\), la ecuación es:

\[ y = mx + b \]

3. Forma "Dos Puntos"

¿Qué pasa si no tienes la pendiente, pero tienes dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\)? Primero calculas la pendiente \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) y luego usas la forma Punto-Pendiente con cualquiera de los dos puntos.

4. Forma Simétrica (o Canónica)

Esta forma es muy útil si conoces los dos puntos donde la recta corta a los ejes. Si la recta corta al eje X en \((a, 0)\) (la abscisa al origen) y al eje Y en \((0, b)\) (la ordenada al origen), la ecuación es:

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]

5. Forma General

Toda ecuación de primer grado puede escribirse de esta forma. Es la forma "estándar" donde todos los términos están en un lado, igualados a cero. Es útil para cálculos más avanzados como la distancia de un punto a una recta.

\[ Ax + By + C = 0 \]

Donde \(A\), \(B\), y \(C\) son constantes. La pendiente en esta forma es \(m = -\frac{A}{B}\) y la ordenada al origen es \(b = -\frac{C}{B}\).

6. Forma Normal

Esta forma es menos común, pero muy poderosa en física y problemas de distancias. Describe la recta en términos de la longitud \(p\) de la línea perpendicular que va desde el origen hasta la recta, y el ángulo \(\omega\) que forma esa línea perpendicular con el eje X.

\[ x\cos(\omega) + y\sin(\omega) - p = 0 \]

Una aplicación clave de la forma general es calcular la distancia más corta desde un punto cualquiera \(P_1(x_1, y_1)\) hasta una recta.

Distancia de un Punto a una Recta

La distancia \(d\) desde un punto \(P_1(x_1, y_1)\) a una recta en forma general \(Ax + By + C = 0\) está dada por:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

El valor absoluto en el numerador asegura que la distancia sea siempre positiva.

Las Secciones Cónicas: Figuras Nacidas del Cono

Ahora entramos a la parte más elegante de la geometría analítica. Las secciones cónicas son las curvas que se obtienen al "cortar" un cono doble con un plano. Dependiendo del ángulo del corte, obtenemos cuatro figuras magníficas.

Todas ellas se definen como un "lugar geométrico", que es simplemente un conjunto de puntos que cumplen una regla o condición específica.

1. La Circunferencia

Es la cónica más simple y familiar. Se obtiene con un corte horizontal al cono.

La Circunferencia

Es el lugar geométrico de todos los puntos \((x, y)\) en el plano que son equidistantes de un punto fijo llamado centro \((h, k)\). La distancia constante se llama radio (\(r\)).

Esta definición es la fórmula de la distancia: \(r = \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2}\).

Ecuación Canónica (Centro en el Origen (0, 0)):
Si el centro es \((0, 0)\), la ecuación se simplifica a:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Ecuación Ordinaria (Centro fuera del Origen (h, k)):
Esta es la forma general de la definición:
\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]
Ecuación General de la Circunferencia:
Si desarrollamos los binomios de la forma ordinaria, obtenemos una ecuación de la forma:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
(Donde \(A=B=1\) en la ecuación general de cónicas).

2. La Parábola

Se obtiene al cortar el cono con un plano inclinado que es paralelo a una de sus generatrices (el borde del cono).

La Parábola

Es el lugar geométrico de todos los puntos \((x, y)\) que son equidistantes de un punto fijo llamado Foco (F) y de una línea recta fija llamada Directriz (d).

Elementos clave de la Parábola:

Vértice (V): El punto medio entre el foco y la directriz. Es el "punto de giro" de la parábola.
Foco (F): El punto "dentro" de la curva. Todas las señales (luz, sonido) que rebotan en la parábola se concentran en el foco.
Directriz (d): La recta "detrás" de la curva.
Parámetro \(p\): La distancia del vértice al foco (y del vértice a la directriz).
Lado Recto (LR): La cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. Su longitud es \(|4p|\).

Ecuación Canónica (Vértice en el Origen (0, 0)):
- Parábola Horizontal: Abre a la derecha (si \(p > 0\)) o izquierda (si \(p < 0\)). El eje de simetría es el eje X.
  \[ y^2 = 4px \]
- Parábola Vertical: Abre hacia arriba (si \(p > 0\)) o abajo (si \(p < 0\)). El eje de simetría es el eje Y.
  \[ x^2 = 4py \]
Ecuación Ordinaria (Vértice fuera del Origen (h, k)):
- Parábola Horizontal:
  \[ (y-k)^2 = 4p(x-h) \]
- Parábola Vertical:
  \[ (x-h)^2 = 4p(y-k) \]

3. La Elipse

Se obtiene al cortar el cono con un plano inclinado que no es lo suficientemente empinado como para ser paralelo a la generatriz.

La Elipse

Es el lugar geométrico de todos los puntos \((x, y)\) tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados Focos (F_1 y F_2), es una constante (esa constante es \(2a\), la longitud del eje mayor).

Elementos clave de la Elipse:

Centro (C): El punto medio entre los dos focos.
Focos (F_1, F_2): Los dos puntos fijos que definen la elipse.
Eje Mayor: El diámetro más largo de la elipse (longitud \(2a\)). Sus extremos son los Vértices (V_1, V_2).
Eje Menor: El diámetro más corto de la elipse (longitud \(2b\)).
Relación Fundamental: \(a\), \(b\) y \(c\) (la distancia del centro al foco) están relacionados por \(a^2 = b^2 + c^2\), donde \(a\) es siempre el más grande.
Excentricidad (e): Mide qué tan "achatada" es la elipse. \(e = \frac{c}{a}\). Siempre \(0 < e < 1\). Si \(e\) se acerca a 0, es casi un círculo. Si se acerca a 1, es muy plana.

Ecuación Canónica (Centro en el Origen (0, 0)):
- Elipse Horizontal: El eje mayor está en el eje X.
  \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
- Elipse Vertical: El eje mayor está en el eje Y.
  \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \]
(Nota: \(a^2\) es siempre el denominador más grande e indica la orientación).
Ecuación Ordinaria (Centro fuera del Origen (h, k)):
- Elipse Horizontal:
  \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
- Elipse Vertical:
  \[ \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \]

4. La Hipérbola

Se obtiene con un corte más inclinado que la generatriz, un corte que atraviesa *ambas* partes del cono doble.

La Hipérbola

Es el lugar geométrico de todos los puntos \((x, y)\) tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados Focos (F_1 y F_2), es una constante (esa constante es \(2a\)).

Elementos clave de la Hipérbola:

Centro (C): El punto medio entre los dos focos.
Focos (F_1, F_2): Los dos puntos fijos, cada uno dentro de una "rama" de la hipérbola.
Vértices (V_1, V_2): Los puntos donde la hipérbola corta a su eje principal.
Eje Transverso: El segmento que une los vértices (longitud \(2a\)).
Eje Conjugado: Un segmento perpendicular al transverso (longitud \(2b\)).
Relación Fundamental: La relación pitagórica cambia: \(c^2 = a^2 + b^2\), donde \(c\) (distancia al foco) es la más grande.
Asíntotas: Dos líneas rectas de las cuales la hipérbola se acerca más y más, pero nunca las toca. Son cruciales para dibujarla.

Ecuación Canónica (Centro en el Origen (0, 0)):
- Hipérbola Horizontal: Abre a izquierda y derecha.
  \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
- Hipérbola Vertical: Abre hacia arriba y abajo.
  \[ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \]
(Nota: El término positivo indica la orientación).
Ecuación Ordinaria (Centro fuera del Origen (h, k)):
- Hipérbola Horizontal:
  \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]
- Hipérbola Vertical:
  \[ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \]

Ejemplo de Aplicación: Identificar una Cónica desde la Ecuación General
Una habilidad clave es tomar una ecuación general como \(9x^2 + 4y^2 - 18x + 16y - 11 = 0\) e identificar qué cónica es. El método se llama "Completar el Trinomio Cuadrado Perfecto".

Solución:

Agrupar variables: \( (9x^2 - 18x) + (4y^2 + 16y) = 11 \)
Factorizar coeficientes: \( 9(x^2 - 2x) + 4(y^2 + 4y) = 11 \)
Completar cuadrados:
- Para \(x\): Mitad de -2 es -1, cuadrado es 1. Añadimos 1 dentro del paréntesis, pero en realidad añadimos \(9 \times 1 = 9\) al lado izquierdo.
- Para \(y\): Mitad de 4 es 2, cuadrado es 4. Añadimos 4 dentro del paréntesis, pero en realidad añadimos \(4 \times 4 = 16\) al lado izquierdo.
Balancear la ecuación: \( 9(x^2 - 2x + 1) + 4(y^2 + 4y + 4) = 11 + 9 + 16 \)
Factorizar binomios: \( 9(x-1)^2 + 4(y+2)^2 = 36 \)
Dividir por 36 para igualar a 1: \( \frac{9(x-1)^2}{36} + \frac{4(y+2)^2}{36} = \frac{36}{36} \)
Forma Ordinaria: \( \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 \)

Como ambos términos son positivos y están sumados, es una Elipse. Como el denominador más grande (9) está bajo la \(y\), es una elipse vertical con centro en \((1, -2)\).

Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica (Tu Próximo Paso)

¡Felicidades! 🥳 Has completado la expedición teórica por la Geometría Analítica. Has visto cómo una simple idea de René Descartes nos permite unificar el álgebra y la geometría, dándonos el poder de describir desde la línea más simple hasta la órbita elíptica de un planeta con ecuaciones precisas.

Ahora que entiendes el ¿por qué? y e ¿cómo? de cada fórmula y de cada figura, es el momento de poner ese conocimiento en acción. La maestría en esta disciplina se forja resolviendo problemas. Hemos preparado una colección masiva de ejercicios resueltos, organizados por tema, para que puedas practicar cada concepto hasta dominarlo.

Fundamentos del Plano Cartesiano

La Recta

La Circunferencia

La Parábola

La Elipse

La Hipérbola

Conclusión: El Poder de la Ecuación

La geometría analítica es tu caja de herramientas para modelar el mundo. Cada vez que veas una parábola en un puente colgante, una elipse en la órbita de un cometa o una línea recta en una proyección de ventas, sabrás que detrás hay una ecuación simple y elegante que la describe. Esperamos que esta guía pilar te haya servido como un mapa robusto para este fascinante territorio. ¡Ahora, a conquistar esos ejercicios!